En lo que sigue supondremos que $a$ es un número real mayor que cero.
Denotemos con $I_{a}$ a la integral dada. Considerando la sustitución $x=a\cos \theta$ llegamos a que
$\displaystyle I_{a}= \frac{a^{2}}{2} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin^{2} \theta}{1+a\cos^{2}\theta}\, d\theta.$
La determinación de esta integral puede hacerse mediante variable compleja. En efecto, puesto que
$\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin^{2} \theta}{1+a\cos^{2}\theta}\, d\theta = \int_{\gamma} \frac{1}{iz} \cdot \frac{\left(\frac{z-z^{-1}}{2i}\right)^{2}}{1+a^{2}\left(\frac{z+z^{-1}}{2}\right)^{2}}\, dz$
donde $\gamma$ es la circunferencia unitaria recorrida una vez en sentido positivo, se sigue que
$\displaystyle I_{a} = \frac{a^{2}i}{2} \int_{\gamma} \frac{(z^{2}-1)^{2}}{z[a^{2}z^{4}+(4+2a^{2})z^{2}+a^{2}]}\,dz$.
Al resolver la ecuación bicuadrática $a^{2}z^{4}+(4+2a^{2})z^{2}+a^{2}=0$, notamos que esta ecuación tiene dos raíces conjugadas de módulo mayor que $1$ y dos raíces conjugadas de módulo menor que $1.$ Denotando con $w_{1}$ y $w_{2}$ al primer par de raíces conjugadas y con $w_{3}$ y $w_{4}$ al segundo par de raíces conjugadas, se sigue que
$\displaystyle I_{a} = \frac{i}{2} \int_{\gamma} \frac{(z^{2}-1)^{2}}{z(z^{2}-w_{1}^{2})(z-w_{3})(z+w_{3})}\,dz$.
Luego, si con $f$ denotamos al integrando en la línea anterior, al aplicar el teorema de los residuos se obtiene que
$\begin{eqnarray*} I_{a} &=& \left(\frac{i}{2}\right)(2\pi i ) \left\{\mathrm{Res}(f,z=0)+\mathrm{Res}(f,z=w_{3})+\mathrm{Res}(f,z=-w_{3})\right\}\\ &=& \pi \frac{1+w_{1}^{2}w_{3}^{2}-2w_{1}^{2}}{w_{1}^{2}(w_{1}^{2}-w_{3}^{2})}. \end{eqnarray*}$
............ (*)
Así, al ser
$w_{1}^{2} = \pm \frac{i\sqrt{2+a^{2}+2\sqrt{1+a^{2}}}}{a}$
y
$w_{3}^{2}= \pm \frac{i\sqrt{2+a^{2}-2\sqrt{1+a^{2}}}}{a}$,
al hacer las evaluaciones correspondientes se llega a que
$I_{a} = \pi (\sqrt{1+a^{2}}-1)$
y concluimos...
