Dado cargado y probabilidad..

Question

Un dado de seis caras (1, 2, 3, 4, 5, 6) está 'cargado', de modo que el valor de la probabilidad de que 'muestre' una cierta cara es proporcional al valor numérico correspondiente.

 

Se arroja tres veces el dado, totalizando una suma de "diez"; $\textbf{¿cuál es la probabilidad de haber lanzado, al menos, un '4'?}$

Comments

@Marc Anthony: ¿Se vale dejar la respuesta en función de las "constantes de proporcionalidad"?

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Sí: si lo necesita, José, "se vale"..jeje..

Answer 1

Nos dice que P(i) = k · i , para i = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

La suma de todas las probabilidades ha de ser 1, por lo que (1 + 2 +3 +4+ 5+6)·k = 1, de donde el valor de k es 1/21.

Así tenemos que P(i) = 1/ 21 · i, para i = 1,2,3,4,5,6.

   Ahora tenemos una probabilidad condicionada, sacar al menos un 4 en el lanzamiento de tres dados sabiendo que la suma ha sido 10.  El resultado será la probabilidad de la intersección ( sacar al menos un 4 y suma 10) entre la probabilidad de la condición (suma 10).

   Sólo resta pensar en estas probabilidades y dividir.

   Sacar al menos un 4 y suma 10 : (4,1,5), (4,2,4), (4,3,3) y sus permutaciones, su probabilidad sería:

6·(4/21 · 1/ 21 · 5/21) + 6 (4/21 · 2/21 · 4/21) + 6 · (4/21 + 3/21 + 3/21 ) = (6 · 88 / 21^3)

   Sacar suma 10 : (1, 3, 6), (1, 4, 5), (2, 2, 6), (2, 3, 5), (2, 4, 4), (3, 3, 4), y sus permutaciones, su probabilidad sería:

(6 · 160 / 21^3).

   La probabilidad pedida entonces es 88 / 160 = 22 / 40 = 11 / 20, siempre que mis cálculos, que los he hecho rápido no estén mal.

Comments

De hecho lo que Anthony dice es que para cada i en {1, 2, ..., 6},  P("caiga i") = (k_i)*i donde k_i bien podría depender de i.

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El "k_i" que indica José, sería constante [podría llamarse "k"]: cuando indico en el enunciado, que: «....la probabilidad de que 'muestre' una cierta cara es proporcional al valor numérico correspondiente.», quiero decir que:  «para cada i en {1, 2, ..., 6},  P("caiga i") = (k_i)*i», o sea, una proporcionalidad (lineal) directa.

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Jogumo: Gracias por darse el tiempo para este sencillo reto. La idea es buena, solo que la cantidad de permutaciones no es la misma en todos los casos:

* Son 3! = 6, cuando los 3 valores son diferentes {ejemplo: (2, 3, 5)}.
* Son $\binom{3}{2}$ = 3, cuando hay 2 valores iguales {ejemplo: (4, 2, 4)}.