Si has llevado algún buen curso de álgebra conmutativa, entonces el Hartshorne está bien. Pero como veo que no es tu caso. Yo iniciaría con el libro de Fulton "Algebraic Curves". A mi parecer es autocontenido. Si quieres algo básico, digamos "Undergraduate", te aconsejo el de Miles Read "Algebraic Geometry". Si quieres algo avanzado (pero no tanto como el Hartshorne, entonces te recomientdo el libro de Shafarevich "Basic Algebraic Geometry". Uno de Geometría Algebraica compleja sería el Harris Principles of algebraic Geometry. Una colección muy recomentable pero a mi juicio poco conocida es de Kenji Ueno "Algebraic Geometry".
Como verás hay para muchos gustos y dependerrá de tus intereses y tus conocimientos.