Transformada de Laplace

Question

Hola!, soy nuevo en el Foro, mi consulta es la siguiente:

Decida justificadamente si existe $L^{-1}[F(s)](t)$ cuando $F(s)=\dfrac{s^2}{s+1}$.

Esto hice, notemos que $F(s)=\dfrac{s^2}{s+1}=\dfrac{s^2-1}{s+1}+\dfrac{1}{s+1}=s-1+\dfrac{1}{s+1}.$ Luego, se tiene que:

\begin{eqnarray*}
L^{-1}[F(s)](t)&=&L^{-1}\left[s-1+\dfrac{1}{s+1}\right](t)\\
&=&L^{-1}[s](t)-L^{-1}[1](t)+L^{-1}\left[\dfrac{1}{s+1}\right](t)\\
&=&L^{-1}[s](t)-L^{-1}[1](t)+e^{-t}
\end{eqnarray*}

Y ahí ya no se me ocurre qué otra cosa hacer..., ¿alguien me puede decir si voy bien?

Una consulta, ¿es normal que el LaTeX se vea así o no?, no se ven bien las fracciones :(, no sé si hay alguna opción para arreglar eso.

Answer 1

Si  F(s)=\dfrac{s^2}{s+1} entonces L^{-1}[F(s)]= f(t) no existe.
La justificación es la siguiente, bajo ciertas condiciones sobre f(t) se tiene que 

" Si L[f(t)]= F(s) existe entonces F(s) tiende a 0 cuando s tiende a infinito
lo cual es equivalente a 
" Si F(s) no tiende a O cuando s tiende a infinito entonces L^{-1[F(s)]=f(t) no existe "
s^2/{s+1} no tiende a cero por consiguiente L^{-1}{s^2}{s+1}] no existe