operador compacto no sobrejectivo

Question

 

Pruebe que un operador compacto entre espacios de Banach jamas es sobreyetivo , si el contradominio

es de  dimension infinita.

Comments

Tu comentario tiene tantas faltas de ortografía que no se puede entender con certeza lo que escribes. No es mi afán de molestar, pero si quieres una mejor respuesta que este comentario, ayudaría mucho si es legible tu enunciado. Gracias.

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Tengo la impresion de que Raul es brasileño y por eso su español no es perfecto.

Answer 1

Si $T$ es sobreyectivo, el teorema de Banach-Schauder implica que $T$ es una función abierta entre $X$ e $Y$. Ahora, tomamos el conjunto $B\subset X$ como la bola cerrada de radio 1. Su interior $B^0$ es no vacío, claro está, y $TB^0\subset TB$. Por ser $T$ compacto y $B$ cerrado y acotado, $\overline{TB}$ es compacto en $Y$. Sin embargo, $TB^0$ es un abierto contenido en $\overline{TB}$, de donde $\overline{TB}$ tiene interior no vacío y por lo tanto no puede ser compacto!!!

Por lo tanto, $T$ no puede ser sobreyectivo.