Un "quickie" de geometría

Question

¿Es posible trazar un triángulo en el plano cartesiano de tal manera que los tres vértices de su triángulo exterior de Napoleón sean puntos de coordenadas enteras?

Espero que la pregunta sea de su agrado. La intención es, más que nada, darle un poco de variedad a los "retos" en el sitio.

Saludos.

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Sencilla pero interesante variedad.

Answer 1

—Considerando el Teorema de Napoleón, que indica que "los 3 vértices de cualquier Triángulo Napoleónico forman un triángulo equilátero", es suficiente con analizar el caso para algún △ equilátero así formado.—

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➜ Tomemos por hipótesis inicial que existe algún triángulo exterior de napoleón, con vértices de coordenadas enteras, para algún triángulo primigenio, que genera el "napoleónico".

*** Sea ABC el triángulo original. Supongamos que los vértices del “triángulo (exterior) napoleónico” son V₁,V₂,V₃. Asumimos las expresiones sgtes: V₁ = (m; n), V₂ = (p; q), con coordenadas enteras. ***

 

Luego, siendo L = √[(p-m)² + (q-n)²], la longitud de lado del △ equilátero V₁V₂V₃, las coordenadas del 3er vértice, V₃= (x; y), pueden calcularse en función de m, n, p, q ∈ Z:

x = ½⋅(m+p) ∓ (√3/2)⋅(q-n)/L; x ∈ Z

y = ½⋅(n+q) ± (√3/2)⋅(p-m)/L; y ∈ Z

Así, procurando la condición "entera" de ambos valores (x; y), resulta necesaria la siguiente condición:

 ∃k ∈ ℚ  / L = k√3  ↔ √[(p-m)² + (q-n)²] = k√3 ↔ (p-m)² + (q-n)² = 3k² ↔ [(p-m)/k]² + [(q-n)/k]² = 3

Luego: x = ½⋅(m+p) ∓ ½⋅(q-n)/k → (q-n)/k  = r ∈ Z

           y = ½⋅(n+q) ±  ½⋅(p-m)/k → (p-m)/k = s ∈ Z

Entonces: (p-m)² + (q-n)² = 3k² ↔ s² + r² = 3, lo que, como ecuación diofántica, es incompatible. En este punto, se ha llegado a una situación contradictoria.

∴ La hipótesis inicial es incorrecta; en conclusión, NO EXISTE ningún triángulo exterior de napoleón, cuyos vértices tengan todos coordenadas de valor entero; así, no se puede trazar en el plano cartesiano el triángulo de la pregunta.

Comments

La conclusión es la correcta pero me parece que la presentación del argumento puede mejorarse considerablemente... Saludos.

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Saludos, José.

Gracias por revisar nuestra respuesta.Por favor, indíquenos en qué aspectos es que se puede mejorar la presentación del argumento (¡considerablemente, según su percepción!).

¿Acaso la demostración del Teorema de Napoleón? ¿O, quizá, el detalle algebraico/vectorial de cálculo de coordenadas para el vértice V₃= (x; y)?
¿Tal vez, un gráfico?

Answer 2

Aquí, un bosquejo de los triángulos:

△ ABC: el original

△ BRC, △ CSA, △ ATB: equiláteros construidos "exteriormente", con base en cada lado del original.

△ V₁V₂V₃: el 'napoleónico exterior' de ABC. Como todo △ de Napoleón, es equilátero.