—Considerando el Teorema de Napoleón, que indica que "los 3 vértices de cualquier Triángulo Napoleónico forman un triángulo equilátero", es suficiente con analizar el caso para algún △ equilátero así formado.—
➜ Tomemos por hipótesis inicial que existe algún triángulo exterior de napoleón, con vértices de coordenadas enteras, para algún triángulo primigenio, que genera el "napoleónico".
*** Sea ABC el triángulo original. Supongamos que los vértices del “triángulo (exterior) napoleónico” son V₁,V₂,V₃. Asumimos las expresiones sgtes: V₁ = (m; n), V₂ = (p; q), con coordenadas enteras. ***
Luego, siendo L = √[(p-m)² + (q-n)²], la longitud de lado del △ equilátero V₁V₂V₃, las coordenadas del 3er vértice, V₃= (x; y), pueden calcularse en función de m, n, p, q ∈ Z:
x = ½⋅(m+p) ∓ (√3/2)⋅(q-n)/L; x ∈ Z
y = ½⋅(n+q) ± (√3/2)⋅(p-m)/L; y ∈ Z
Así, procurando la condición "entera" de ambos valores (x; y), resulta necesaria la siguiente condición:
∃k ∈ ℚ / L = k√3 ↔ √[(p-m)² + (q-n)²] = k√3 ↔ (p-m)² + (q-n)² = 3k² ↔ [(p-m)/k]² + [(q-n)/k]² = 3
Luego: x = ½⋅(m+p) ∓ ½⋅(q-n)/k → (q-n)/k = r ∈ Z
y = ½⋅(n+q) ± ½⋅(p-m)/k → (p-m)/k = s ∈ Z
Entonces: (p-m)² + (q-n)² = 3k² ↔ s² + r² = 3, lo que, como ecuación diofántica, es incompatible. En este punto, se ha llegado a una situación contradictoria.
∴ La hipótesis inicial es incorrecta; en conclusión, NO EXISTE ningún triángulo exterior de napoleón, cuyos vértices tengan todos coordenadas de valor entero; así, no se puede trazar en el plano cartesiano el triángulo de la pregunta.