Ideales maximales

Question

Se trata de una duda que no puedo resolver sobre enteros gaussianos, el cual dice o más bien pide que se demuéstre que M = {x(2 + i) | x E R) es un ideal máximo, donde R={a+bi | a, b son enteros}. Alguna idea? Lo ideal es demostrar que existe M < N (contenido) ideal de R y concluir con que M=N o N=R.

Answer 1

Sea $M=(2+i)$.

$\mathbb{Z}[i]/(2+i)$ es isomorfo a  $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$, vía el morfismo:

$\varphi:\mathbb{Z}[i]/(2+i) \to \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$

$\varphi(x+iy)= x-2y$  $mod(2^2+1^2)$

Solo ve que respeta sumas y multiplicación, además de que el núcleo sea precisamente el ideal $(2+i)$

Es claro que $(2+i)\subset ker(\varphi)$.

Obs: Primero vemos que $\frac{c+di}{a+bi}=\frac{ac+bd}{a^2+b^2}+i\frac{ad-bc}{a^2+b^2}$

Veamos $ker(\varphi) \subset (2+i)$; sea $(2+i)(x+yi)=c+di\in ker(\varphi)$ con $x,y \in \mathbb{Q}$.
Por tanto $0\equiv \varphi(c+id) =c-2d$, y por nuestra observación tenemos que $y$ es entero. De manera CASI similar se muestra que $x$ es entero. Por lo tanto $ker(\varphi) \subset (2+i)$.

Solo falta ver que es sobre.

 

Y el resultado que quieres se obtiene  del hecho de que $I$ es un ideal maximal si y sólo si $R/I$ es un campo, con $R$ anillo conmutativo con $1$.

Comments

Si conozco ese teorema, pero no quería aplicarlo, verás este ejercicio es parte de una lista de problemas y problema que sigue me pide mostrar este isomorfismo, en realidad yo quería demostrar que es ideal maximal en base casi a la definición, pero veo que no es tan fácil :( de antemano gracias, supongo que usaré tu idea para ver que es maximal.

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Mmmm, en ese caso deberías ser mas explícito.
A ver, ¿puedes usar el hecho de que $2+i$ es primo en $\mathbb{Z}[i]$?

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si perdón, zape para mi :P

Answer 2

A ver, creo que esto funciona. Usaremos el hecho de que $\mathbb{Z}[i]$ es dominio de ideales principales.

Si $\langle{2+i}\rangle \subset \langle{x+iy}\rangle$ entonces $2+i\in{\langle{x+iy}\rangle} \Rightarrow 2+i=(x+iy)\cdot {c}$ con $c\in{\mathbb{Z}[i]} \setminus \{1,-1,i,-i\}$ por lo tanto:

$5=N(2+i)=N(x+iy)N(c)$  y esto es imposible.

De esto se obtiene que $\langle{2+i}\rangle$ es un ideal máximo en $\mathbb{Z}[i]$

Comments

Me puedes explicar un poco mas la idea? Z[i] es anillo euclidiano y por lo tanto todo ideal es ideal principal, entonces das otro ideal N que contiene a M, el cual debe de ser principal pero por que el elemento c no puede ser i o -i, claro que si es 1 pues es inmdiato que N es igual a Z[i] no?

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El quitar $U(\mathbb{Z}[i])=\{1,-1,i,-i \}$ evita que $2+i$ y $x+iy$ sean asociados, y por tanto que generen al mismo ideal.

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Muchs gracias, creo que ahora si ya sale!!

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Solo por aclarar, si $c=1,-1$ no implica que $N$ sea igual a $\mathbb{Z}[i]$, eh.
Porque en ningún momento dije que $c\in{N}$.

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Pero que no hay un teorema que dice que si 1 está en un ideal, entonces esté ideal es el anillo entero?