Ideales de un Anillo

Question

En la demostración de que todo anillo tiene un ideal máximo no es un "error" suponer que las cadenas de ideales sean numerables, ¿no sería mejor solo suponer una cadena de ideales y no "numerarlas"'?.

Porque empiezan diciendo sea

$\mathfrak{a}_1 \subset \mathfrak{a}_2 \subset \ ...$, una cadena de ideales de $\mathcal{R}$ (anillo en cuestión), en este caso no seria simplemente suponer que $\mathcal{C} \subset \mathcal{R}$ es una cadena y nada mas, sin numerarla.

Comments

Sí, sí es un error.

Answer 1

La cadenas son conjuntos linealmente ordenados. Lo que se necesita es que exista una cota superior y el argumento para ver que dicha cota pertenece a la familia en cuestión es un argumento finito, es decir, sólo ocupas una cantidad finita de elementos de la cadena, los cuales puedes indexarlos con los naturales o con una parte de estos. Espero que este comentario sirva de ayuda para comprender el argumento expuesto por la mayoría de los libros que he leido.

Saludos