¿Estás pidiendo un algoritmo que dado $\mathfrak{a}$, digamos, a través de algún conjunto de generadores, calcule cual es el mínimo número de generadores requeridos? No sé si haya tal algoritmo, pero te puede interesar saber que hay ideales que requieren $n$ generadores para cualquier $n$.
Considera por ejemplo el ideal $\mathfrak{a} = \langle 2^{n-1}, 2^{n-1} x, 2^{n-2} x^2, \ldots, x^{n-1} \rangle$. Dimos una lista de $n$ generadores y ahora probaremos que no se puede generar con menos de $n$ polinomios. La manera más simple de hacerlo es usar el ideal maximal $\mathfrak{m} = \langle 2, x \rangle$; $\mathfrak{m}$ es maximal porque es fácil ver que $\mathbb{Z}[x]/\mathfrak{m} \cong \mathbb{Z}/2$ (el isomorfismo es tomar la paridad del término independiente). Si $f_1(x), \ldots, f_k(x)$ generan el ideal $\mathfrak{a}$, sus imágenes en el cociente $C:=\mathfrak{a} / \mathfrak{m} \mathfrak{a}$ generan a $C$. Este cociente $C$ es un espacio vectorial sobre $\mathbb{Z}[x]/\mathfrak{m} \cong \mathbb{Z}/2$. Si probamos que su dimensión es $n$, habremos probado que $\mathfrak{a}$ no puede ser generado por menos de $n$ elementos. Ya tenemos un conjunto de $n$ generadores: las imágenes en $C$ de $2^{n-1}, 2^{n-1} x, 2^{n-2} x^2, \ldots, x^{n-1}$. Ahora solo falta ver que éstas imágenes son linealmente independientes sobre $\mathbb{Z}/2$. Si no lo fueran, habría una combinación lineal $\sum_i \epsilon_i 2^{n-1-i} x^i \equiv 0 \pmod{\mathfrak{m} \mathfrak{a}}$ donde cada $\epsilon_i$ es $0$ o $1$. Ahora el ideal $\mathfrak{m} \mathfrak{a} = \langle 2^n, 2^{n-1} x, \ldots, x^n \rangle$ (de hecho, $\mathfrak{a} = \mathfrak{m}^{n-1}$), y escribiendo una combinación lineal con coeficientes polinomiales de esos generadores y expandiendo todo, es fácil ver que los polinomios en $\mathfrak{m} \mathfrak{a}$ tienen la propiedad de que, para $k = 0, 1, \ldots, n$, el coeficiente de $x^k$ es múltiplo de $2^{n-k}$. El polinomio $\sum_i \epsilon_i 2^{n-1-i} x^i$ no tiene esa propiedad si alguno de sus coeficientes es distinto de $0$, lo cual prueba que las imágenes en $C$ de $2^{n-1}, 2^{n-1} x, 2^{n-2} x^2, \ldots, x^{n-1}$ son linealmente independientes.
