Últimamente he tenido que trabajar con lo siguiente: consideremos $k_i \in \{-1,1\}$ para toda $i \in \mathbb{N}$ y consideremos la familia de polinomios $P$ de la forma $$\mathop{\sum}\limits_{i=0}^n k_it^i;$$ y la familia de series $S$ de potencias $$\mathop{\sum}\limits_{i=0}^{\infty}k_it^i.$$ Este tipo de polinomios y series aparecen en este artículo: Glendinning, Paul; Hall, Toby. Zeros of the kneading invariant and topological entropy for Lorenz maps. Nonlinearity 9 (1996), no. 4, 999–1014 y tienen mucha relación con el proyecto en el que trabajo en mi doctorado.
Mis preguntas son las siguientes:
-
¿Existe un resultado general que asegure la existencia de una raiz en $(0,1)$ para cada elemento de $P$? Si existe, ¿podrían darme la referencia?
-
Misma pregunta para $S$: ¿Existe un resultado general que asegure la existencia de un cero de la serie en $(0,1)$ para cada $s \in S$? En el caso de las series, quedan excluidos los casos cuando $k_i = -1$ para toda $i$ o $k_i = 1$ para toda $i$.
-
En caso de existan dicho resultado para el caso de la serie. ¿Es posible afirmar que el número de ceros de $s \in S$ que pertenecen a $(0,1)$ es finito?
Siento que la pregunta es extremadamente básica, pero no he podido encontrar una respuesta rápida aún. ¡Gracias por la ayuda!
Nota: Yarza me hizo notar que la condición que impuse para el caso dos, tambien aplica para el caso 1. Por otro lado, voy a imponer una condición extra para el caso dos: No existe $N \in \mathbb{N}$ tal que para toda $n \geq N$ $k_n = k_N$. Es decir, siempre hay cierta "alternancia" entre los coeficientes. Por otro lado, para el caso 2, si la sucesión de coeficientes $\{k_i\}$ es periodica o preperiodica entonces la serie se traduce en una función racional. Además, creo que si consideramos $\mathop{\sum}\limits_{i=0}^nk_i$ y esta es positiva, tampoco puedo asegurar la existencia de ceros en la region que estoy considerado. Esto no lo he revisado formalmente aún.
