Acción de un anillo en los A-endomorfismos de un módulo.

Question

Si $k$ es un anillo con uno y $M,N$ son $k$-módulos denotamos $Hom_k(M,N)$ son los morfismos de $k$-módulos.

Para $k$  anillo conmutativo entonces al definir para $a\in k$ y $f \in{Hom_k(M,N)}$ el mapeo $af$ tal que:

$(af)(x)=af(x)$ entonces $Hom_k(M,N)$ es un $k$-módulo, pero si $k$ no es conmutativo entonces no funciona.

La pregunta es:
Si $k$ no es conmutatuvo.

¿El hecho de que no pueda hacerse  $Hom_k(M,N)$  un $k$-módulo con la acción antes dicha , esto no significa que  $Hom_k(M,N)$  no pueda hacerse un $k$-módulo ó sí?.

Answer 1

Cuando no tienes una estructura de bimódulo en $M$ o $N$, entonces ${\rm Hom}_k(M,N)$ no tiene estructura más que la de grupo abeliano (que es lo mismo que $\mathbb{Z}$-módulo).

Cuando $k$ es conmutativo, entonces cada $k$-módulo izquierdo es además un $k$-módulo derecho definiendo $m.\alpha=\alpha m$ para todo $\alpha\in k$ y todo $m\in M$. Esto hace de $M$ un $k$-$k$-bimódulo.

Supongamos que tenemos dos anillos $A$ y $B$. Sean $M$ un $A$-$B$-bimódulo ($A$-módulo izquierdo y $B$ módulo derecho que además cumplen $\alpha.(m.\beta)=(\alpha.m).\beta$ para $\alpha\in A$, $\beta\in B$ y $m\in M$) y $N$ un $A$-módulo izquierdo, entonces ${\rm Hom}_{A}(M,N)$ es un $B$-módulo izquierdo definiendo la acción como sigue: para $f:M\to N$ y $\beta\in B$ definimos $\beta.f:M\to N$ como la función $m\mapsto f(m.\beta)$.

En cambio, si $M$ es un $A$-módulo y $N$ es un $A$-$B$-bimódulo, entonces ${\rm Hom}_A(M,N)$ tiene estructura de $B$-módulo derecho con la acción definida como sigue: para $f:M\to N$ y $\beta\in B$ definimos $f.\beta:M\to N$ como la función $m\mapsto f(m).\beta$.

Así puedes ir jugando con las estructuras que te sobran. Ahora, te dejo una pregunta:

¿Qué estructura tiene ${\rm Hom}_B(M,N)$ cuando $M$ es un $A$-$B$-bimódulo y $N$ es un $B$-módulo derecho?

Saludos _\m/

Comments

O sea que si $M,N$ no son bimódulos (ambos) entonces ¿uno no va a poder hacer a  $\rm {Hom}_k(M,N)$ un $k$-módulo ?

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No de manera natural. Siempre esta la acción trivial

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A gracias por la aclaración.