Formas de hacer a un anillo R un R-módulo

Question

De cuantas formas distintas puedo hacer a un anillo $R$ un $R$-módulo,.

Answer 1

Por "de cuantas maneras" debemos entender: ¿Cual es la cardinalidad del conjunto de $R$-módulos?

No estoy seguro de que esta sea la pregunta pero la suma directa o el producto directo

$\oplus_{i\in{\mathcal{I}}} R_i$ donde $\mathcal I$ tiene cardinalid arbitrarimente grande escogiendo

el conjunto de índices $\mathcal I$ con cardinalidad grande. La estructura de $R$-módulo de la suma directa es la usual.

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Creo que yo no puse bien la pregunta, realmente debi poner que: si tengo una anillo R, eventualmente este tiene estructura de R-módulo la cual es la multiplicación usual, pero ¿hay otra forma de hacerlo un módulo?, tambien con esto quiero decir por ejemplo que si considero a $R=\mathbb Z[X]$ lo podemos ver como $R=\mathbb Z[X]$-módulo pero quisiera saber si hay una acción tal que que no sea solamente la usual que es simplemente la multiplicación.  Esto lo puse porque si considero a $R=\mathbb Z$ entonces este solo tiene la multiplicación usual, y normalmente en los libros siempre dicen "consideremos a $R$ como $R$-módulo" supongo que se entiende que es la multiplicación usual, pero ¿es la única?, no hay otras acciones alternativas.

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No entendí bien la pregunta.  Perdón

Answer 2

Un $R$-módulo es una generalización de un espacio vectorial sobre un campo $F$ donde el campo $F$ es substituido por $R$. En la definición de modulo va implicita la multiplicación de $R$, así que esta multiplicación ya esta fija. Tu pregunta es equivalente a preguntar de cuantas formas se puede considerar a un campo $F$ como un espacio vectorial sobre si mismo. Sólo una.

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Creo que puse algo mal mi pregunta, es verdad que la multiplicación va implícita, pongo este ejemplo:
$R=\mathbb{Z}[X]$ y fijamos un polinomio $P$ ahora tenemos la siguiente multiplicación, $r(x)*s(x) =r(P)s(x)$ con esto $\mathbb{Z}[X]$ es un $\mathbb{Z}[X]$-módulo pero la acción ya no coincide con la  multiplicación usual.

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Si el anillo $R$ tiene identidad multiplicativa, entonces se quiere que $Id_R x=x$ para todo $x\in M$. Pero esta igualdad no se cumple con el producto que dices.

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Answer 3

Creo que ya entendí tu pregunta. Si olvidas la estructura producto en $R$ y lo ves como grupo abeliano bajo la suma. Déjame escribirlo como $G$ una vez que olvidamos la estructura multiplicativa. Tu pregunta es cuantas representaciones hay de $R$ en $End(G)$  de modo que manda el producto de $R$ en la composición de $End(G)$. Con esto uno se convence que hay muchas formas. Los productos que dices se llaman sandwich. No estoy seguro si cada representación de $R$ en $End(G)$ viene de un producto sandwich.

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Pero el producto como lo puse si cumple que $1*s(x)=1s(x)=s(x)$, porque resultaria de evaluar el polinomio $r(x)=1$ en $P$ que sería otra vez 1 ó que estoy haciendo mal;
exactamente eso me refería a saber los morfismos de $R$ en $End(R_+)$

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Tienes razón. Confundí al 1 con la función identidad. Disculpas. Ya me convenciste que hay muchos.

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Creo lo que me interesa es saber como son todos los morfismos de $R$ en $End(R_+)$, seguire haber que sale, al menos ya tengo mas bases para seguir en mi problema, gracias.

Answer 4

No tengo idea de la respuesta, pero tal vez te sirvan varios ejemplos (suponiendo que Carlos adivinó bien y lo que quieres es $R$-módulos que son isomorfos a $R$ como grupo abeliano):

1. Si $R = \mathbb{Z}$, solo hay una forma, pues cada grupo abeliano tiene una estructura canónica de $\mathbb{Z}$-módulo.
2. Si $R = \mathbb{Q}$, sigue habiendo solo una forma, pues debemos tener para todo $x \in \mathbb{Q}$ que $1 \cdot x = x$; sumando muchas veces y luego usando inversos aditivos, obtenemos que $n \cdot x = nx$ para cualquier $n \in \mathbb{Z}$. Ahora, para determinar $(n/m) \cdot x$, notemos que debe ser un número que al ser multiplicado por $m$ dé como respuesta $nx$, así que debe ser $(n/m)x$.
3. Si $R = A[x]$ donde $A$ es algún anillo conmutativo con $1$, entonces $R \cong A^{\oplus \aleph_0}$ es un $A$-módulo libre de rango numerable. Vemos que hay muchísimas maneras de volverlo $R$-módulo, incluso si no queremos conservar solo la esctructura de grupo abeliano sino además la de $A$-módulo. Cualquier endomorfismo de $A^{\oplus \aleph_0}$ como $A$-módulo nos da una estructura de $A[x]$-módulo, y dos de ellas son isomorfas si y solo si los endormorfismos de $A^{\oplus \aleph_0}$ que las definen son conjugados. Esto ya nos da, al menos si $A$ coopera, tantos $R$-módulos como la cardinalidad del continuo, porque, por ejemplo, si $A$ es un subanillo de algún campo de caraterística cero, para cada sucesión estrictamente creciente de números naturales $m_k$, el endomorfismo de $A^{\oplus \aleph_0}$ dado por $(x_k)_k \mapsto (m_k x_k)_k$ obtenemos un $R$-módulo y son todos no isomorfos dos a dos (pues los correspondientes isomorfismos tienen distintos conjuntos de valores propios).
4. Si $R = \mathbb{R}$ y crees en el axioma de elección, como grupo abeliano, $R$ es isomorfo a $\mathbb{Q}^{\oplus 2^{\aleph_0}}$, de modo que es isomorfo (de nuevo como grupo abeliano) a $\mathbb{R}^{\oplus \lambda}$ para cualquier $1 \le \lambda \le 2^{\aleph_0}$, así que puedes ver a $\mathbb{R}$ como espacio vectorial real de cualquier dimensión entre $1$ y la cardinalidad del continuo.

Seguro hay todavía cosas más extrañas. Es una pregunta interesante, al menos como advertencia, pero no creo que haya mucha esperanza de obtener una respuesta muy satisfactoria.

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¿En el 6 renglon de 3. no es tambien $A^{\oplus \aleph_0}$?.
Una pregunta respecto a 3,cualquier estructura de $R=A[X]$-módulo proviene de un endomorfismo de $A^{\oplus \aleph_0}$.

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No, no todas son así, si $A$ tiene varias maneras de hacerse $A$-módulo, por ejemplo, no hay porque pensar que las estructuras de $A[x]$-módulo de $A^{\oplus 2^{\aleph_0}}$ respetan la estructura usual de $A$-módulo.

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Sí, gracias, ya lo corregí a $\aleph_0$.