Duda en suma directa de módulos

Question

Solo quiero saber si estoy bien.

Si tengo $M$ un $R$-módulo con $M=R=\mathcal{M}_n(F)$ ($F$ campo) y considero las matrices $e_{ii}$ (con 1 en la posición $i,i$), entonces tengo  que $M=\displaystyle \bigoplus_{i=1}^n{Re_{ii}}$

Bueno tengo que $M=Re_{11}+\ ...\ + Re_{nn}$, ya que toda matriz la puedo descomponer de la siguiente manera:

$r_{1j}= \begin{bmatrix}\ \ 0 \ldots & t_{1j} & \ldots & 0\\ \ \ 0\ldots &t_{2j} & \ldots & 0 \\ \vdots&&&\vdots \\ \ \ 0\ldots & t_{nj} &\ldots & 0\end{bmatrix}$ con $r_{1j} \in Re_{jj}$

y además $ Re_{i,i} \cap \left(Re{11} + \ ... \ Re_{i-1,i-1}\right) = 0,\ $ con $2<i\leq n$, con esto tenemos que forman suma directa.

En caso de estar bien es cierto si en lugar de $F$ ponemos solo un anillo con 1

Answer 1

Si $R$ es un álgebra de longitud finita sobre un anillo $A$ y se tiene un sistema completo de idempotentes ortogonales $\{e_1,\dots,e_n\}$, es decir, para $i,j\in\{1,\dots,n\}$ se tiene $e_{i}e_{j}=\delta_{ij}e_{i}$ y $1=e_1+\cdots+e_n$, entonces la estructura de $R$-módulo de $R$ se obtiene por la suma directa $Re_1\oplus\cdots\oplus Re_n$. Si además, los idempotentes son primitivos, es decir, que no se pueden escribir como suma de otros dos idempotentes, entonces la suma anterior es única, por el Teorema de Krull-Scmhidt.

En tu caso, las matrices $e_{ii}$ forman tal conjunto de idempotentes ortogonales completo y además son primitivos. Luego, si reemplazas $F$ por $A$, como lo escrito arriba, sigues teniendo la descomposición deseada.