Módulos izquierdo.

Question

Si tengo que $M$ es un $\mathbb Q$-módulo izquierdo ¿cómo puedo demostrar que esta es la única acción de $\mathbb Q$ sobre $M$ que lo hace un $\mathbb Q$-módulo izquierdo?

Answer 1

Esta pregunta ya fue respondida en MathStackExchange.

http://math.stackexchange.com/questions/75313/why-is-there-only-one-way-to-make-m-a-mathbbq-module-if-possible

A continuación doy la respuesta parafraseando algunas partes:

Primero hay que observar que hay una única forma de considerar a un grupo abeliano $(M,+)$ como $\mathbb{Z}$-módulo. Se puede definir para   $n\in \mathbb{Z}$ y $x\in M$, $nx= x+x+\ldots +x$ (n sumandos) y $(-n)x = -(nx)$. La acción debe cumplir que $1x=x$ y $(n+m)x=nx + mx$, de modo que cualquier acción coincide con la que dimos. 

Ahora considera un $\mathbb{Q}$-módulo $M$. El grupo aditivo subyacente $(M,+)$ tiene que ser libre de torsión (es decir, todo elemento no cero tiene orden infinito. Esto es porque si consideramos la ecuación $(m + m + \ldots + m) = nm = 0$, con $n\in \mathbb{N}$, entonces podemos escribir a $m$ como $((1/n)n)m$, lo cual implica que $m=0$. 

Por otra parte, en cualquier grupo abeliano libre de torsión G, se tiene que la ecuación $nx=m$ con $n\in \mathbb{N}$ y $m\in G$ tiene una única solución. Esto se puede ver suponiendo lo contrario: Supongamos que existe otra solución $y$. Entonces tenemos que $nx =ny$ lo cual implica que $n(x-y)=0$ y por el argumento del párrafo anterior, que $x-y=0$. Se sigue que $x=y$ lo cual es una contradicción. 

Entonces en el $\mathbb{Q}$-módulo $M$, el único elemento que satisface la ecuación $nx=m$ es $(1/n)m$, independientemente de cómo esté definida la acción de $\mathbb{Q}$ sobre $M$.  Pero sabemos que la ecuación $nx=m$ sólo depende de $\mathbb{Z}$ sobre $M$ que ya sabemos que es única.

 

Comments

De $x-y=0$ puedes concluir que $x=y$, no necesitas además probar que $y-x=0$. :)