Supongo que quieres decir que todos los submódulos propios de $M$ son libres, porque si incluyes a $M$, pues $M$ es libre. :)
Algo fácil que se puede decir es que si $M$ no es cíclico, entonces $M$ es libre de torsión puesto que sus submódulos cíclicos son libres. Mejor aún, como $M$ es el colímite de sus submódulos finitamente generados, si $M$ no es finitamente generado, $M$ es plano.
En general no podemos decir mucho mejor que eso:
Si $R = \mathbb{Z}$, $M$ podría ser $\mathbb{Z}/p$ con $p$ primo. Su único submódulo propio es $0$, que es libre, pero $M$ mismo tiene torsión (y entonces tampoco es plano). Más generalmente, cualquier módulo simple cumple trivialmente que todos sus submódulos propios son libres.
Un ejemplo que podría resultar interesante es $\mathbb{Q}_p$ como módulo sobre los enteros $p$-ádicos, $\mathbb{Z}_p$. Cualquier submódulo propio de $\mathbb{Q}_p$ es isomorfo a $\mathbb{Z}_p$. Para probar esto, recordemos la valuación $p$-ádica: cualquier elemento $x$ de $\mathbb{Q}_p$ se puede escribir de manera única como $x = p^n u$ con $n$ entero y $u$ una unidad en $\mathbb{Z}_p$; el entero $n$ es la valuación de $x$ y se denota por $v_p(x)$. Los enteros $p$-ádicos se pueden caracterizar como $\mathbb{Z}_p = \{ x \in \mathbb{Q}_p : v_p(x) \ge 0 \}$.
Ahora, sea $M$ un submódulo de $\mathbb{Q}_p$ y consideremos $V := \{ v_p(x) : x \in M \}$. Si $n \in V$, hay una unidad $u$ de $\mathbb{Z}_p$ tal que $p^n u \in M$, y por lo tanto $p^n \mathbb{Z}_p \subseteq M$. Lo anterior prueba que si $V$ no tiene elemento mínimo (si tiene números negativos arbitrariamente grandes en valor absoluto), entonces $M = \mathbb{Q}_p$. En cambio, si $\min V = m$, entonces $M = p^m \mathbb{Z}_p$ y $M$ es libre de rango $1$.
Nótese que $\mathbb{Q}_p$ mismo no es libre: cualesquiera dos elementos, digamos, $x=p^mu$, $y=p^nv$ (con $u$ y $v$ unidades), son linealmente dependientes, puesto que $p^{n+N}v (p^m u) - p^{m+N}u (p^n v) = 0$ y para $N$ suficientemente grande, ambos coeficientes están en $\mathbb{Z}_p$. (Basta $N \ge - \min(m,n)$.) Por otro lado, como $\mathbb{Q}_p = \bigcup_{n \to -\infty} p^n \mathbb{Z}_p$, $\mathbb{Q}_p$ es un colímite directo de libres y como consecuencia es plano.
