Por qué la siguiente regla define una acción?

Question

Supongamos que tenemos un grupo $G$ y que $H$ es un subgrupo normal cíclico infinito y de índice finito; y sea $K$ el centralizador de $H$ en $G$. Supongamos que $H$ actúa de la manera usual sobre la recta real, es decir, si $h$ es un generador de $H$, entonces $h$ actúa como traslación por $1$. Si $k\in K$, entonces definimos la acción de $k$ sobre la reacta real como traslación por $m/n$, donde $n$ es el menor entero positivo tal que $k^{n}=h^{m}$. La pregunta es: por qué esto define una acción de $K$ sobre la recta real? Más aún, por qué está acción es la única acción de $K$ sobre la recta real que extiende a la acción dada de $H$ sobre la recta real?