El teorema de Kakutani que mencionas es del estilo del teorema de Borsuk-Ulam y se puede demostrar con una estrategia similar el caso "fácil" de Borsuk-Ulam, el caso $n=2$, o sea, que no hay funciones continuas impares $S^2 \to S^1$. Iba a explicar esa prueba, pero antes de escribirla decidí revisar el artículo de Kakutani y resulta que su prueba es exactamente ésta y si no te satisfizo cuando Kakutani la escribió dudo que te satisfaga si la escribo yo. Tal vez intenté de todos modos, agregando la prueba que digo para Borsuk-Ulam$|_{n=2}$ como motivación:
Caso $n=2$ de Borsuk-Ulam. No hay una función continua $S^2 \to S^1$ tal que $f(-x) = -f(x)$.
Demostración. Supongamos que si hay tal función $f$. Entonces $f$ induce una función entre los cocientes de $S^2$ y $S^1$ por la acción de $\{\pm 1\}$. Tenemos que $S^n/\{\pm 1\} \cong \mathbb{RP}^n$, así que obtenemos una función $\hat{f} : \mathbb{RP}^2 \to \mathbb{RP}^1$. Aquí ocurre la simplificación que digo: $\mathbb{RP}^1$ de hecho es simplemente $S^1$ y su grupo fundamental por tanto es $\mathbb{Z}$; mientras que el grupo fundamental de $\mathbb{RP}^2$ es $\mathbb{Z}/2$. Vemos que $\hat{f}$ debe inducir el homomorfismo cero entre los grupos fundamentales, pero esto contradice que la obtuvimos de una función impar $f:S^2 \to S^1$. En efecto, si consideras un meridiano $\gamma$ conectando dos puntos antípodas de $S^2$, su proyección $\hat{\alpha}$ en $\mathbb{RP}^2$ es un lazo y genera el grupo fundamental; podemos calcular la imagen $\hat{f}_\ast( \hat{\alpha})$ aplicando primero $f$ y después proyectando a $\mathbb{RP}^1$: como $f$ es impar, la curva $f \circ \alpha$ conecta dos punto antípodas de $S^1$ y por lo tanto su proyección a $\mathbb{RP}^1$ no es trivial (pues si fuera, su levantamiento a $S^1$ tendría que ser un lazo).
Demostración del Teorema de Kakutani. Supongamos que hay una $f : S^2 \to \mathbb{R}$ tal que no hay tres vectores mututamente perpendiculares con la misma imagen. El espacio $\{ (P_1, P_2, P_3) : $ los $P_i$ son tres vectores unitarios mutuamente perependiculares $\}$ es simplemente el grupo ortogonal $O(3)$ ---los $P_i$ son las columnas de una matriz ortogonal. Usando $f$ podemos construir una función $\tilde{f} : O(3) \to \mathbb{R}^3 \setminus \Delta$, donde $\Delta:=\{(x,x,x) : x \in \mathbb{R}\}$, dada por $\tilde{f}(P_1,P_2,P_3) = (f(P_1), f(P_2), f(P_3))$. El análogo de que $f$ era impar en la prueba de Borsuk-Ulam es ahora que $\tilde{f}$ es equivariante con respecto a una acción de $\mathbb{Z}/3$: nótese que $\mathbb{Z}/3$ actúa en $O(3)$ permutando cíclicamente las columnas de una matriz ortogonal, y actúa en $\mathbb{R}^3 \setminus \Delta$ por rotaciones de múltiplos de $120$ grados alrededor de $\Delta$ (la rotación de $120$ grados alrededor de $\Delta$ manda $(x,y,z)$ a $(y,z,x)$).
Esta vez, en lugar de ver el efecto sobre grupos fundamentales de la función inducida por $\tilde{f}$ entre los cocientes bajo $\mathbb{Z}/3$, argumentamos directamente con $\tilde{f}$. Observemos que $\mathbb{R}^3 \setminus \Delta$ tiene el mismo tipo de homotopía que $S^1$ (hay una retracción por deformación a cualquier círculo que rodée $\Delta$), así que su grupo fundamental es $\mathbb{Z}$. Ahora ocurre el mismo tipo de simplificación que arriba: $O(3)$ es disconexo, tiene dos componentes conexas homeomorfas a $SO(3) \cong \mathbb{RP}^3$, así que el grupo fundamental de $O(3)$ es $\mathbb{Z}/2$; por lo tanto, $\tilde{f}$ induce el homomorfismo cero entre los grupos fundamentales. Esto otra vez contradice la simetría de $\tilde{f}$: toma en $SO(3)$ una curva $\gamma$ entre $(P_1, P_2, P_3)$ y $(P_2, P_3, P_1)$. Si $\sigma$ es el generador de $\mathbb{Z}/3$, $\alpha:=\sigma^2 \gamma \cdot \sigma \gamma \cdot \gamma$ es un lazo que empieza y termina en $(P_1, P_2, P_3)$ y veremos que su imagen bajo $\tilde{f}$ es un lazo no trivial en $\mathbb{R}^3 \setminus \Delta$. Por la simetría de $\tilde{f}$, esta imagen es $\alpha' := \sigma^2 \gamma' \cdot \sigma \gamma' \cdot \gamma'$ donde $\gamma' = \tilde{f} \circ \gamma$. El punto clave es que $\gamma'$ debe dar algún número de vueltas de la forma $n + 1/3$ donde $n$ es entero y entonces $\alpha'$ da $3n+1 \neq 0$ vueltas.
