Un grupo cuyo centro es igual a su derivada

Question

Construya un grupo no abeliano $G$ tal que $G^{\prime}=Z(G)$ y $G/Z(G)$ no cíclico.

Comments

Enrique: No sale bien el LaTeX... Pon el código entre signos de pesos...

---

A mi si me sale bien, pero atenderé tu petición

---

Gracias. Ya se ve bien.

Answer 1

Basta con considerar un grupo no abeliano de orden $p^{3}$ para algún número primo $p>0$ (el clásico de orden $8$ tal que todos sus subgrupos son normales aun cuando él no es abeliano o las matrices triangulares superiores de $3 \times 3$ en $\mathbb{F}_{p}$ con $1$'s en la diagonal, etc.). El centro de un grupo tal tiene orden $p$ (su orden no puede ser $p^{3}$ porque $\mathrm{G}$ es no abeliano, su orden no puede ser $p^{2}$ pues $\mathrm{G}/Z(\mathrm{G})$ cíclico implica $\mathrm{G}$ abeliano y su orden no puede ser $1$ porque los $p$-grupos finitos tienen centro no trivial).  Como $|\mathrm{G}/Z(\mathrm{G})|=p^{2}$, el grupo cociente $\mathrm{G}/Z(\mathrm{G})$ es abeliano (pues todo grupo de orden $p^{2}$ es abeliano) y por tanto $\mathrm{G}^{\prime} \subseteq Z(\mathrm{G})$. Como $\mathrm{G}$ es no abeliano $|\mathrm{G}^{\prime}| \neq 1$ y por consiguiente, $\mathrm{G}^{\prime}=Z(\mathrm{G}).$

Comments

También existe un grupo infinito que cumple con esto. Me imagino que te faltó la prima en la última igualdad.

---

Ya corregí ese detalle. Saludos.

---

José Hdz, piensa el mismo problema pero con un grupo infinito cuyo cociente con el centro sea infinito y no cíclico...