Vamos a probar algo más general.
Teorema. Si $X$ es un espacio topológico $T_1$, entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes.
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$X$ es numerablemente compacto.
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Cualquier familia localmente finita de subconjuntos no vacíos de $X$ es finita.
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Cualquier familia localmente finita de subconjuntos de un solo punto de $X$ es finita.
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Cualquier conjunto infinito tiene un punto de acumulación.
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Cualquier conjunto numerable tiene un punto de acumulación.
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Toda familia numerable de subconjuntos cerrados de $X$ con la p. i. f. tiene intersección no vacía.
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$(1\Rightarrow 2)$ Supongamos que existe una familia $\mathscr{F}$ localmente finita de conjuntos no vacíos y que no es finita, digamos que es numerable. Definamos los conjuntos
$$F_n=\bigcup_{k=n}^{\infty}\overline{A_k},$$
los cuales son cerrados; además, es una familia decreciente de subconjuntos de $X$ y $\bigcap_{n\in\mathbb{N}}F_n=\emptyset$, contradiciendo la equivalencia que se mostrará al final.
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$(2\Rightarrow 3)$ Es claro.
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$(3\Rightarrow 4)$ Sea $A$ un subconjunto infinito de $X$ y supongamos que no tiene puntos de acumulación, entonces $A$ es discreto y así, $\{a:a\in A\}$ es una familia localmente finita que no es finita, lo que es absurdo.
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$(4\Rightarrow 5)$ Es evidente.
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$(5\Rightarrow 1)$ Sea $\{U_n:n\in\omega\}$ una cubierta abierta de $X$ y supongamos que no tiene subcubierta finita. Sean $x_0\in U_0$ y para cada $n\in\mathbb{N}$, elegimos $x_n\in U_n\backslash\left(\bigcup_{i\in n}U_i\right)$; definimos así el conjunto $A=\{x_n:n\in\omega\}$. Es claro que $U_n$ a lo más contiene $n+1$ puntos de $A$ ya que $x_{n+1}$ lo elegimos fuera de $\bigcup_{i\in n+1}U_i$. Sea $p$ un punto de acumulación de $A$, entonces existe $m\in\omega$ tal que $p\in U_m$, esto se tiene porque $\{U_n:n\in\omega\}$ es una cubierta de $X$; luego, el conjunto $V=(U_m-\{x_0,x_1,\dots,x_m\})\cup\{p\}$ es una vecindad abierta de $p$ que contiene a lo mas, un punto de $A$ (esto suponiendo que $p \in A$ ya que de otro modo, $V$ no intersecta al conjunto $A$). Como $X$ es $T_1$ y como cualquier vecindad de un punto límite de un subconjunto tiene una cantidad infinita de puntosdel mismo, tenemos que $p$ no puede ser punto de acumulación de $A$, lo que es absurdo.
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$(1\Rightarrow6)$ Sea $\mathscr{F}=\{C_n:n\in\omega\}$ una familia de cerrados con la p.i.f. y consideremos la familia
$$\mathscr{U}=\{X\backslash C_n:n\in\omega\}.$$
Si suponemos que $\bigcap\mathscr{F}=\emptyset$, entonces $\mathscr{U}$ es una cubierta abierta de $X$, ya que
$$\bigcup\mathscr{U}=\bigcup_{n\in\omega}(X\backslash C_n)=X\backslash\left(\bigcap_{n\in\omega}C_n\right)=X.$$
Además, si $\{U_{n_{0}},U_{n_1},\dots, U_{n_m}\}$ es una colección finita de $\mathscr{U}$, entonces
$$\bigcup_{i=0}^{m}U_{n_i}=X\backslash\left(\bigcap_{i=0}^{m}C_{n_i}\right)\subset X,$$
por lo que $\mathscr{U}$ es una cubierta numerable que no tiene subcubiertas finitas.
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$(6\Rightarrow1)$ Sea $\mathscr{U}=\{U_n:n\in\omega\}$ una cubierta abierta numerable de $X$ y supongamos que no posee subcubiertas finitas. Tomando
$$\mathscr{F}=\{X\backslash U_n:n\in\omega\}$$
encontramos una familia numerable de cerrados de $X$; ahora, si
$$\{C_{n_0},C_{n_1},\dots,C_{n_m}\}\subseteq\mathscr{F},$$
entonces
$$\bigcap_{i=0}^{m}C_{n_i}=X\backslash \left(\bigcup_{i=0}^{m}U_{n_i}\right)\not=\emptyset$$
ya que $\mathscr{U}$ no tiene subcubiertas finitas. Así, $\mathscr{F}$ tiene p.i.f. por lo que $\bigcap\mathscr{F}\not=\emptyset$, pero esto es absurdo ya que
$$\bigcap\mathscr{F}=X\backslash\left(\bigcup\mathscr{U}\right)=\emptyset.$$
