Grupo fundamental suspensión homeomorfismo.

Question

Una pregunta básica de topología algebraica que no he podido responder. Sea S una superficie (o cualquier variedad conexa) y f: S->S un homeo. Sea X = suspensión de f, i.e. el espacio que se obtiene de $S\times[0,1]$ al identificar el punto $(s,1)$ con el punto $(f(s),0)$.

Busco una descripción del grupo fundamental de X en función del grupo fundamental de S, los enteros y $f$. Agradecería detalles de su respuesta.

Answer 1

Sea $S$ una superficie, supongamos para evitar diferenciar casos que es cerrada orientable y de genero $g$.

Consideremos la descomposicon de CW complejo de $S$ que consiste en un solo vertice $x_0$, el 1-esqueleto es un wedge de $2g$-circulos $\alpha_1,\beta_1,\dots, \alpha_g,\beta_g$ y una 2-celula pegada al 1-esqueleto a lo largo del ciclo $\prod_{i=1}^g[\alpha_i,\beta_i]$.

Modulo homotopia, podemos suponer que $f$ es un mapa celular (no necesitamos que $f$ sea un homeomorfismo, es suficiente que sea una equivalencia de homotopia) y por lo tanto el "mapping torus" (este es el nombre usual a lo que tu llamas aqui suspension) $M_f$ tambien tiene una estructura de CW complejo. Usaremos esta estructura para calcular su grupo fundamental.

Primero vemos que $f(x_0)=x_0$ asi que $\{x_0\}\times[0,1]$ proyecta a un ciclo $\gamma\subset M_f$. Entonces $M_f$ se obtiene de $S \vee S^1$ pegando celulas de dimension $\geq 2$. Claro que para el grupo fundamental solo nos interesan las de dimension $2$. Por lo tanto $\pi_1(M_f)$ va a ser el cociente de $\pi_1(S)\ast \mathbb{Z}$ por el subgrupo normal $N$ generado por los ciclos a lo largo de los cuales pegamos las 2-celulas. (Esto es una concecuencia del teorema de Seifert-van Kampen).

Tenemos que pegar una celula de dimension $2$ por cada arista del 1-esqueleto de $S$, es decir, por cada $\alpha_i,\beta_i$. Esta 2-celula esta dada por la proyeccion de $\alpha_i \times [0,1]$ (resp. $\beta_i \times [0,1]$) a $M_f$. Es decir, pegamos la 2-celula a lo largo del ciclo $\alpha_i\gamma (f_\ast \alpha_i)^{-1} \gamma^{-1}$. Esta relacion es equivalente a decir que $\gamma^{-1}\alpha_i\gamma = f_\ast \alpha_i$.

Esto implica que la restriccion de la proyeccion de  $\pi_1(S)\ast \mathbb{Z}\rightarrow (\pi_1(S)\ast \mathbb{Z})/N\cong \pi_1(M_f)$ a $\pi_1(S)$ es un isomorphismo a un subgrupo normal de $\pi_1(M_f)$. Y la accion por conjugacion del subgrupo ciclico generado por $\gamma$ ($\cong \mathbb{Z}$) sobre este subgrupo normal esta dada por  $k\cdot g = (f_\ast)^k g$.

Con esto concluimos que $\pi_1(M_f) \cong \pi_1(S) \rtimes \mathbb{Z}$ con la accion $\mathbb{Z} \curvearrowright  \pi_1(S)$ arriba mencionada.

Este argumento claro se puede generalizar para cualquier CW complejo $X$ y equivalencia de homotopia $f:X\rightarrow X$.