Teorema fundamental del álgebra

Question

Hay algúna demostración usando teoria de campos

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Como el TFA no es cierto para cualquier anillo, yo creo que mas bien buscas una demostracion con teoria de campos. Por ejemplo, teoria de Galois.

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Me parece que lo vi en el libro de Stewart de Teoría de Galois. No estoy seguro, pero lo voy a investigar próximamente. _\m/

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Pero la demostración que da no es "algebraica".

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Corolario 23.13 en la página 266 del Galois Theory, third edition. Ian Stewart de Chapman & Hall, 2004. Es una prueba algebraica. Checalo, si tienes tiempo. Básicamente es lo que hace Omar y es lo que te había anunciado desde antes.

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Sí, esa misma prueba también aparece en nuestro viejo amigo el Vargas (Álgebra abstracta--ed. Limusa).

Answer 1

¿No es obvio que cualquier prueba del teorema fundamental del álgebra debe usar algo que no sea álgebra como análisis o topología? Digo, el enunciado mismo involucra a los números complejos cuya definición involucra a los números reales cuya definición no es lo que yo llamaría álgebraica: aunque este dispuesto a considerar "campo ordenado" como concepto del álgebra, ciertamente lo que falta es análisis o topología --- ya sea el axioma del supremo, el axioma de cortaduras de Dedekind, conexidad de la topolgía del orden, etc. Otra manera de pensar el asunto es que como $\mathbb{Q}[i]$ no es algebraicamente cerrado, cualquier prueba del teorema fundamental debe usar algo que distinga a $\mathbb{Q}$ de $\mathbb{R}$.

Supongo que el nombre "teorema fundamental del álgebra" es viejo, de cuando el álgebra estudiaba cosas como polinomios con coeficientes complejos, en lugar de estudiar cosas abstractas como campos o anillos arbitrarios.

 

Claro que uno puede tratar de minimizar las propiedades no algebraicas de los reales que se usan. A mi gusta el siguiente teorema, que trata de cubrir todo lo algebraico del teorema fundamental del álgebra:

 

Teorema. Si $R$ es un campo tal que (a) $-1$ no es suma de cuadrados en $R$, (b) para cada $x \in R$, $x \neq 0$, exactamente uno de $x$ y $-x$ es cuadrado y (c) cualquier polinomio de grado impar con coeficientes en $R$ tiene una raíz, entonces $R[i]$ es algebraicamente cerrado (donde $i$ es una raíz de -1).

 

La demostración es una aplicación bonita de la teoría de Galois. Bueno, antes de eso, uno se acuerda uno de la fórmula para la raíz cuadrada de un número complejo y verifica que (a) y (b) implican que esa fórmula funciona en $R[i]$ también. Que haya raíces cuadradas quiere decir que en $R[i]$ cualquier cuadrática tiene raíces. Ahora sí, supongamos que $K$ es una extensión finita de $R[i]$; queremos probar que $K = R[i]$. Ampliando $K$ si hace falta podemos suponer que es una extensión de Galois de $R$, digamos que de grado $2^k m$ con $m$ impar. Por uno de los teoremas de Sylow, el grupo de Galois tiene un subgrupo de orden $2^k$ y su campo fijo es una extensión de $R$ de grado $m$. Por (c), esa extensión debe ser $R$ mismo, así que $m=1$. Vemos entonces que $K$ es de grado $2^{m-1}$ sobre $R[i]$. Si $m-1>0$, por otro teorema de Sylow el grupo de Galois de $K$ sobre $R[i]$ tiene un subgrupo de orden $2^{m-2}$ y su campo fijo es una extensión cuadrática de $R[i]$; pero eso contradice el que las cuadráticas ya tienen raíces en $R[i]$.

 

Claro que para deducir de este resultado que $\mathbb{C}$ es algebraicamente cerrado hay que probar que $\mathbb{R}$ satisface (a), (b) y (c), lo cual involucra algo de análisis o topología. Por ejemplo, es fácil hacerlo con el teorema del valor intermedio.

 

Por cierto, si quieren leer más sobre los campos que cumplen (a), (b) y (c), se llaman "real closed fields" en inglés. (Como con muchos términos técnicos, no sé como se dice en español.)

 

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Gracias Omar.