Teorema del valor medio

Question

Usa el teorema del valor medio para probar que: x+1 <e^x<2x+1 si 0<x<=log2

Answer 1

Sea $x \in (0, \log 2]$. Para establecer la desigualdad de la derecha, considera la función $F \colon [0,x] \to \mathbb{R}$ definida por $F(u)=e^{u}-2u-1$. $F$ es continua en $[0,x]$ y derivable en $(0,x)$. Del teorema del valor medio se sigue que

$$ F(x) - F(0) = xF^{\prime}(c)$$

para algún $c \in (0,\log 2)$. Como $F(0)=0$ y $F^{\prime}(c)=e^{c}-2<0$, entonces

$$ e^{x}-2x-1 = x F^{\prime}(c)< 0$$

y la prueba termina.

Para establecer la otra desigualdad procedes de manera análoga.