¿Cuál es tu ejemplo favorito donde se utilice el teorema de densidad de Stone-Weierstrass?
Teorema de densidad de Stone-Weierstrass. Sea $\mathrm{E}$ un espacio compacto separado, por ejemplo, cuando $\mathrm{E}$ es métrico y compacto. Denota por $\mathscr{C}_{\mathbf{R}}(\mathrm{E})$ ea espacio normado de todas las funciones continuas $\mathrm{E} \to \mathbf{R}.$ Supón que $\mathscr{A}$ es un subconjunto de $\mathscr{C}$ que satisface las siguientes cuatro hipótesis:
- $\mathscr{A}$ contiene a las funciones constantes,
- $\mathscr{A}$ es un subespacio vectorial de $\mathscr{C}$,
- $\mathscr{A}$ es cerrado ante productos de sus elementos (si $f$ y $g$ son dos funciones que pertenecen a $\mathscr{A}$ entonces $fg$ es otra función que pertenece a $\mathscr{A}$),
- $\mathscr{A}$ separa puntos de $\mathrm{E}$ (si $x$ y $y$ son dos puntos distintos de $\mathrm{E}$ entonces existe una función $f$ en $\mathscr{A}$ tal que $f(x) \neq f(y)$.
Entonces, la cerradura de $\mathscr{A}$ en $\mathscr{C}_{\mathbf{R}}(\mathrm{E})$ es todo $\mathscr{C}_{\mathbf{R}}(\mathrm{E})$.
Yo conozco los siguientes cuatro ejemplos clásicos:
- El teorema de Weierstrass. Sobre un compacto, las funciones polinomiales aproximan uniformemente a cualqueir función continua.
- Si $f:[0, 1] \to \mathbf{R}$ es una función continua tal que $\displaystyle \int\limits_0^1 dt\ f(t) t^n = 0$ para todo $n \geq 0$ entonces $f = 0.$
- Si $\mathrm{E}_1$ y $\mathrm{E}_2$ son dos espacios métricos compactos y $\mathrm{E}$ es el espacio métrico producto de ellos, entonces toda función $f \in \mathscr{C}_{\mathbf{R}}(\mathrm{E})$ puede ser aproximada uniformemente por funciones de la forma $\displaystyle (x, y) \mapsto \sum_{k = 1}^n u_k(x) v_k(y)$, en donde $u_k$ y $v_k$ son sendas funciones continuas $\mathrm{E}_1 \to \mathbf{R}$ y $\mathrm{E}_2 \to \mathbf{R}.$
- El espacio normado $\mathscr{C}_{\mathbf{R}}(\mathrm{E})$ es separable.
Imagino que debe haber muchos más ejemplos interesantes esparcidos por ahí. ¿Cuál es tu favorito?