Ejemplos del teorema de densidad de Stone-Weierstrass

Question

¿Cuál es tu ejemplo favorito donde se utilice el teorema de densidad de Stone-Weierstrass?

Teorema de densidad de Stone-Weierstrass. Sea $\mathrm{E}$ un espacio compacto separado, por ejemplo, cuando $\mathrm{E}$ es métrico y compacto. Denota por $\mathscr{C}_{\mathbf{R}}(\mathrm{E})$ ea espacio normado de todas las funciones continuas $\mathrm{E} \to \mathbf{R}.$ Supón que $\mathscr{A}$ es un subconjunto de $\mathscr{C}$ que satisface las siguientes cuatro hipótesis:

1. $\mathscr{A}$ contiene a las funciones constantes,
2. $\mathscr{A}$ es un subespacio vectorial de $\mathscr{C}$,
3. $\mathscr{A}$ es cerrado ante productos de sus elementos (si $f$ y $g$ son dos funciones que pertenecen a $\mathscr{A}$ entonces $fg$ es otra función que pertenece a $\mathscr{A}$),
4. $\mathscr{A}$ separa puntos de $\mathrm{E}$ (si $x$ y $y$ son dos puntos distintos de $\mathrm{E}$ entonces existe una función $f$ en $\mathscr{A}$ tal que $f(x) \neq f(y)$.

Entonces, la cerradura de $\mathscr{A}$ en $\mathscr{C}_{\mathbf{R}}(\mathrm{E})$ es todo $\mathscr{C}_{\mathbf{R}}(\mathrm{E})$.

Yo conozco los siguientes cuatro ejemplos clásicos:

1. El teorema de Weierstrass. Sobre un compacto, las funciones polinomiales aproximan uniformemente a cualqueir función continua.
2. Si $f:[0, 1] \to \mathbf{R}$ es una función continua tal que $\displaystyle \int\limits_0^1 dt\ f(t) t^n = 0$ para todo $n \geq 0$ entonces $f = 0.$
3. Si $\mathrm{E}_1$ y $\mathrm{E}_2$ son dos espacios métricos compactos y $\mathrm{E}$ es el espacio métrico producto de ellos, entonces toda función $f \in \mathscr{C}_{\mathbf{R}}(\mathrm{E})$ puede ser aproximada uniformemente por funciones de la forma $\displaystyle (x, y) \mapsto \sum_{k = 1}^n u_k(x) v_k(y)$, en donde $u_k$ y $v_k$ son sendas funciones continuas $\mathrm{E}_1 \to \mathbf{R}$ y $\mathrm{E}_2 \to \mathbf{R}.$
4. El espacio normado $\mathscr{C}_{\mathbf{R}}(\mathrm{E})$ es separable.

Imagino que debe haber muchos más ejemplos interesantes esparcidos por ahí. ¿Cuál es tu favorito?

Comments

Respondí hace cuatro días, pero jamás aprobaron mi respuesta

---

Siempre hay que esperar al menos una semana. No seas desesperado.

Answer 1

1.  Me gusta el ejercicio en el que se prueba que los polinomios trigonométricos son densos en el espacios de las funciones periódicas de periodo $2\pi$ (se generaliza fácilmente, y tiene también su versión compleja) 
2. Si $f\in \mathcal{C}\big([0, 1], \mathbb{R}\big)$ es estrictamente creciente, entonces la subálgebra generada por $\{ 1, f\}$ es densa en $\mathcal{C}\big([0, 1], \mathbb{R}\big)$
3. Por alguna razón me gusta cómo se ve la versión multidimensional del Teorema de aproximación de Weierstrass, pues aunque es consecuencia directa del de Stone-Weierstrass (o a partir del de una variable), casi nunca lo enuncian
4. Si $(X, d)$ es compacto, entonces la subálgebra de $\mathcal{C}\big(X, \mathbb{R}\big)$ generada por $\{\varphi_y\}_{y\in X}$ (con $\varphi_y(x):= d(x, y)$) es densa en $\mathcal{C}\big(X, \mathbb{R}\big)$ 
5. Sean $X$ un espacio topológico localmente compacto y $\mathcal{C}_0\big(X, \mathbb{C}\big)$ el espacio de funciones continuas que se desvanecen en el infinito ($\forall \varepsilon>0$, existe un compacto $K_f$ tal que para cualquier $x\in K_f$ sucede que $|f(x)|<\varepsilon$). Sea $\mathcal A$ una subálgebra de $\mathcal{C}_0\big(X, \mathbb{C}\big)$ tal que

• $\mathcal A$ separa puntos
• $\mathcal A$ es autoadjunta (si $f\in \mathcal A$, entonces $\bar{f}\in \mathcal A$ )

Entonces $\mathcal A$  es densa en $\mathcal{C}_0\big(X, \mathbb{C}\big)$ (con la topología de la convergencia uniforme)

Comments

2. está muy padre, tu 4. y mi 4. son esencialmente el mismo (toma $\psi_n = \varphi_{y_n}$ para una familia densa $(y_n)$ de $\mathrm{E}$). Para 5. imagino que debes usar compactación mediante la agregación de un punto.