El interior del conjunto de funciones continuas y diferenciales es vacío.

Question

Hola, me dejaron el siguiente ejercicio, pero no se como atacarlo. Es de espacios métricos.

 

​Sea $C([a,b],\mathbb{R})$ el espacio de funciones continuas con la métrica uniforme

\[d(f,g)= \sup\{|f(x)-g(x)| : x \in [a,b]\}\]

 

Sea  $U=\{f \in C([a,b], \mathbb{R}) : f \text{ es diferenciable en }[a,b]\}$. Demostrar que $\text{int}(U)=\emptyset$.

 

Si alguién me puede ayudar, gracias.

Answer 1

¡Conoces esta función superpatológica que es continua en todas partes y diferenciable en ninguna? Tiene el nombre de algún matemático fafmoso, pero no recuerdo cual. Llama a esa función $P$ (de patológica). $P$ es acotada, así que puedes suponer sin pérdida de generalidad que $\sup_{x\in[a,b]}P(x)=1$ (de otro modo divides a $P$ por este número y ya). Sea $f$ diferenciable. Dada $\varepsilon>0$ toma $0<\delta<\varepsilon$ y considera $g=f+\delta P$. De inmediato podrás ver que $g$ no es diferenciable  (de hecho en ningún punto) y que $d(f,g)=\delta<\varepsilon$.

NOTA: De hecho te basta tomar $P$ como cualquier función continua acotada no diferenciable, por ejemplo

\[

P(x)=\frac{|2x-(a+b)|}{b-a}.

\]

Comments

Parece que Weierstrass fue el primero en construir una función "patológica" como la que dice Elias.