Funciones absolutamente continuas.

Question

Hola a todos y gracias de antemano por la respuesta. Mi pregunta es la siguiente.  Es sabido que si una funcion $f:[0,T]\to\mathbb{R}$ satisface la desigualdad

$$\vert f(t)-f(s)\vert\leq\int_{s}^t{m(r)\ dr},$$

para alguna $m\in L^1([0,T])$, entonces $f$ es absolutamente contínua. Del mismo modo, (no es tan conocido) por un argumento de cociente de diferencias se puede mostrar que si

$$\vert f(t)-f(s)\vert\leq (g(s)+g(t))\vert t-s \vert,$$

para alguna $g\in L^1([0,T])$, entonces $f\in W^{1,1}([0,T])$. En realidad las concluciones son las mismas. Mi pregunta es si podria llegar a la misma conclusion si tengo

$$\vert f(t)-f(s)\vert\leq (g(s)+g(t))\vert t-s \vert + \int_{s}^t{m(r)\ dr},$$

donde $g,m$ estan con las mismas hipotesis anteriores. Yo intuyo que si pero no he conseguido mostrarlo. Olvide escribir que $s<t$.