Stone-Weierstrass donde se anula en un punto.

Question

Considera un espacio compacto metrizable $\mathrm{E}$ y $\mathscr{A}$ un álgebra en el conjunto de las funciones continuas $\mathrm{E} \to \mathbb{R}.$ Supón que $\mathscr{A}$ separa puntos y que $x$ es un punto en $\mathrm{E}$ para el cual toda función en $\mathscr{A}$ se anula (desvanece o desaparece). Mi intuición me dice que $\overline{\mathscr{A}}$ debe ser el conjunto de las funciones continuas que se anulan en $x.$ Agradezco sugerencias.

Algunas cuestiones a considerar: porque $\mathscr{A}$ separa puntos, $x$ es el único punto donde todas las funciones de $\mathscr{A}$ se anulan. Dada $f:\mathrm{E} \to \mathbb{R}$ continua con $f(x) = 0,$ uno puede aproximar $f$ afuera de $\mathrm{B}(x: r)$ ($r$ es cualquier número positivo) por alguna $g_r$ en $\mathscr{A}.$ El problema yace en controlar a la familia $(g_r)$ o controlar una $g_r$ dentro de tal bola.

Saludos,

Answer 1

Considera $\mathscr{B} = \mathbb{R} \mathbf{1} + \overline{\mathscr{A}} = \{ a \mathbf{1} + f : a \in \mathbb{R}, f \in \overline{\mathscr{A}} \}$, donde $\mathbf{1}$ es la función constante con valor uno. Esta álgebra $\mathscr{B}$ claramente es cerrada, separa puntos y contiene a las constantes, así que por el teorema usual de Stone-Weierstrass, contiene a todas las funciones continuas. Ahora sea $g$ un función continua que se anula en $x$. Tenemos que $g  = a \mathbf{1} + f$ con $a \in \mathbb{R}$ y $f \in \overline{\mathscr{A}}$. Evaluando en $x$ vemos que $a=0$ y por lo tanto $g = f \in \overline{\mathscr{A}}$.