Proyecciones en espacios de Hilbert convergen.

Question

Sea $\mathrm{H}$ un espacio de Hilbert. Supón que $(\mathrm{C}_n)$ define una sucesión de subconjuntos de $\mathrm{H}$ satisfaciendo las siguientes propiedades: cada uno de sus elementos es cerrado, convexo y la sucesión está anidada en forma decreciente $\mathrm{C}_{n + 1} \subset \mathrm{C}_n.$ Sean $P_n$ la proyección canónica $\mathrm{H} \to \mathrm{C}_n,$ sea $\mathrm{C}$ la intersección de todos los $\mathrm{C}_n$ y, finalmente, $P$ la proyección canónica a $\mathrm{C}.$

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Demostrar que para cualquiera que sea el vector $w \in \mathrm{H},$ la sucesión $P_n(w)$ convergirá a $P(w)$ en $\mathrm{H}.$

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Comentarios:

$P_n$ no es lineal, esto es cierto (al menos) en el caso en que $\mathrm{C}_n$ es un subespacio. En particular, $P_n$ no es una «proyección ortogonal.»

Si $Q$ es la proyección canónica a un conjunto convexo y cerrado $\mathrm{A},$ entonces $Q(v)$ es, por definición, el único vector $x$ que resuelve el problema de minimizar $\|v - x\|$ conforme $x$ recorre $\mathrm{A}.$