Convergencia de sucesiones

Question

Hola, necesito ayuda para probar el siguiente enunciado. Lo he intentado por contradicción pero no sé como concluir.

Probar que si una sucesión es tal que toda subsucesión tiene una subsucesión convergente a un mismo límite,
la sucesión original tiene ese límite

Answer 1

Procede por contrapositiva.
Supón que $\{x_n\}$ es una sucesión de números reales (el mismo razonamiento se aplica a cualquier espacio métrico) que no converge a $a\in\mathbb R.$ Esto significa que existirá un $\delta>0$ tal que no importa qué natural $N$ tomes, siempre habrá un $n>N$ tal que $|x_n-a|\geqslant\delta.$ Ahora construye una subsucesión $\{x_{n_k}\}$ de $\{x_n\}$ como sigue.
Sea $n_0\in\mathbb N$ tal que $n_0>0$ y $|x_{n_0}-a|\geqslant\delta.$ Habiendo escogido a $n_0,\ldots,n_k,$ sea $n_{k+1}\in\mathbb N$ tal que $n_{k+1}>n_k$ y $|x_{k+1}-a|\geqslant\delta.$ Claramente la subsucesión $\{x_{n_k}\}$ no tiene una subsucesión que converja a $a.$ En consecuencia, se tiene que si $\{x_n\}$ no converge a $a$ entonces siempre existirá una subsucesión $\{x_{n_k}\}$ de $\{x_n\}$ que no tenga una subsucesión que converja a $a.$ Por lo tanto, si toda subsucesión de $\{x_n\}$ tiene una subsucesión que tiende a $a$ entonces $\{x_n\}\to a$ cuando $n\to\infty.$