Isomorfismo Aditivo

Question

Recuerdo que alguien preguntó esto hace ya bastante tiempo (mucho antes de que existiera el Irracional) en el grupo de Matemáticos de Facebook. Como la respuesta es bonita e interesante, me parece apropiado intentar rescatarla aquí.

¿Es $\mathbb R$ aditivamente isomorfo a $\mathbb C$? (lo cual significa: ¿Es el grupo $(\mathbb R,+)$ isomorfo al grupo $(\mathbb C,+)$?)

Answer 1

Toma una base $(x_\alpha)_\alpha$ de $\mathbb{R}$ como $\mathbb{Q}$-espacio vectorial. Sea $(e_i)_i$ la base canonica de $\mathbb{R}^n$ como  $\mathbb{R}$-espacio vectorial, entonces $(x_\alpha e_i)_{\alpha,i}$ es una base de $\mathbb(R)^n$ como $\mathbb{Q}$-espacio vectorial. $(x_\alpha)_{\alpha}$ y $(x_\alpha e_i)_{\alpha,i}$ son de la misma cardinalidad y cualquier biyeccion entre ambas induce isomorfismos entre $\mathbb{R}$ y $\mathbb{R}^n$ como $\mathbb{Q}$-espacios vectoriales y en particular como grupos abelianos (nótese que la estructura aditiva de $\mathbb C$ es la misma que la de $\mathbb R^2$, de donde se sigue lo preguntado).