Subanillo y unidades

Question

Sea $S=\{a+\sqrt{3}b: a,b\in \mathbb{Z}\}.$ Demuestre que $S$ es un subanillo de $\mathbb{R}$ y encuentre sus unidades. ¿Es $S$ un campo?

Hola, quisiera si me pueden ayudar con este problema. Aún no lo tengo muy claro, ¿pero $S$ puede ser un ideal?, porque un ideal es un subanillo.

Answer 1

Un problema de la Teoría de Anillos es que no todos están de acuerdo en qué es un anillo. Todos están de acuerdo en que la suma forma un grupo conmutativo y que el producto distribuye a la suma, pero de ahí en fuera las opiniones divergen. Hay gente para la cual un anillo tiene que tener 1, ser asociativo y conmutativo, hay gente para la que no se necesita ninguna de éstas, y hay gente que pide algunas sí y otras no.

En cualquier caso, para tener un subanillo necesitas que tu conjunto sea cerrado bajo multiplicación y resta. Dependiendo de quién da el curso o qué libro sigues habrá que probar que tiene al 1 o no. Para los que exigen que todo anillo tenga 1 hay ideales que no son subanillos (como los pares que son un ideal de los enteros). Para los que hay anillos sin 1 (como los pares) todos los ideales son subanillos con la propiedad adicional de que absorben productos por elementos fuera del ideal.

 

En fin, en tu caso los reales son un campo así que no tienen ideales propios. Ese ejemplo que te dan es subanillo pero no ideal. Para ver que es subanillo sólo verifica que es cerrado bajo restas y productos. Puedes también confirmar que 1 pertenece a tus conjunto.

Para encontrar las unidades multiplica dos elementos arbitrarios ($a+b\sqrt{3} $ y $a'+b'\sqrt{3}$) y hazlos igual a 1. Vas a tener algo de la forma $A+B\sqrt {3}=1$ donde $A$ y $B$ so  expresiones en términos de $a,b, a'$ y $b'$. Encuentra para que valores de $a $ y $b $ se puede hacer $A=1$ y $B=0$.