Sobre localización de anillos y functores adjuntos.

Question

Quiero encontrar un functor G tal que $ (S^{-1},G) $ sea un par adjunto de functores. Donde  $S \subset R$ con R un anillo conmutativo con 1, y $S^{-1}R$ es la localización. Y se define $S^{-1} M = S^{-1}R \otimes_R M  $. Con ésto, $S^{-1}$ es un functor de la categoría de $R$-módulos izquierdos a la categoría de $S^{-1}R$-módulos izquierdos.

Answer 1

El adjunto derecho es simplemente la restricción de escalares: dado un $S^{-1}R$-módulo $N$, lo puedes considerar como un $R$-módulo izquierdo definiendo $r n = \lambda(r) n$, donde $\lambda : R \to S^{-1}R$ es la localización. Que estos dos funtores son adjuntos no tiene nada que ver con localización: en general si $\lambda : R \to A$ es un homomorfismo de anillos conmutativos con $1$, la extensión de escalares es el funtor $R\textrm{-}\mathrm{Mod} \to A\textrm{-}\mathrm{Mod}$ dado por $M \mapsto A \otimes_R M$ ($A$ es un $R$-módulo via $\lambda$), éste es adjunto izquierdo de la restricción de escalares que es el funtor $A\textrm{-}\mathrm{Mod} \to R\textrm{-}\mathrm{Mod}$ que considera un $A$-módulo $N$ como $R$-módulo definiendo $rn = \lambda(r)n$. La pregunta es sobre el caso particular en que $A=S^{-1}R$ y $\lambda : R \to S^{-1}R$ es el morfismo canónico asociado a la localización.