No sé que quieras decir con $k[\cos(x),\sin(x)]$ para un campo arbitrario $k$ (por ejemplo, ¿qué es cuándo $k = \mathbb{Z}/2$?), pero si, digamos, $k = \mathbb{R}$, podríamos definir $k[\cos(x),\sin(x)]$ como subanillo del anillo de funciones reales (o funciones continuas, o $C^\infty$, etc.) y probar con esa definición el isomorfismo que dices.
Lo que hay que probar es que si $p(u,v)$ es un polinomio con coeficientes reales, entonces $p(\cos(x),\sin(x))$ es idénticamente $0$ si y solo si se puede factorizar como $p(u,v) = (u^2+v^2-1) q(u,v)$, donde $q(u,v)$ es algún otro polinomio con coeficientes reales. Si $p$ tiene tal factorización, es claro que $p(\cos(x),\sin(x)) \equiv 0$.
Supongamos ahora que $p(\cos(x),\sin(x)) \equiv 0$ y consideremos a $p(u,v)$ como polinomio en $u$ con coeficientes en $\mathbb{R}[v]$. Podemos dividir a $p(u,v)$ entre el polinomio mónico $u^2 + v^2 - 1$ y el residuo que obtenemos debe ser de grado a lo más $1$ en $u$, digamos, $p(u,v) = (u^2+v^2-1) q(u,v) + r(v) u + s(v)$ donde $r$ y $s$ son polinomios en $v$.
Para cualquier $t$ en $[-1,1]$ podemos hallar una $x_1$ tal que $\sin(x_1) = t$, $\cos(x_1) = \sqrt{1-t^2}$ y otra $x_2$ tal que, de nuevo, $\sin(x_2) = t$, pero ahora $\cos(x_2) = -\sqrt{1-t^2}$. Sustituyendo $(u,v) = (\cos(x_i),\sin(x_i))$ en la ecuación de arriba, obtenemos que $\pm r(t) \sqrt{1-t^2} + s(t) = 0$. Sumando y restando estas dos ecuaciones (la de $+$ y la de $-$), obtenemos que $r(t) = s(t) = 0$. Como $t$ era arbitrario en el intervalo $[-1,1]$, vemos que los polinomios $r(v)$ y $s(v)$ tienen una infinidad de ceros y por lo tanto son idénticamente $0$, que es lo que queríamos demostrar.
