Subanillo de Q

Question

Bueno hay un problema que dice: considere el subanillo $S = \mathbb{Z}[\frac{p}{q}]$ de $\mathbb{Q}$, lo que quiero preguntar es ¿cómo son los elementos de $S$? ¿son de éste tipo?: $a+b(\frac{p}{q})$ con $a,b\in{\mathbb{Z}} $.

Answer 1

Los elementos son polinomios de cualquier grado en $p/q$ con coeficientes enteros, no solo los polinomios lineales. Por ejemplo, $p^2/q^2$ debe estar en cualquier anillo que contenga a $p/q$. (Y $p^2/q^2$ no es de la forma $a + bp/q$: cualquier número de esa forma tiene denominador divisor de $q$, en su forma simplificada, mientras que $p^2/q^2$ tiene denominador $q^2$ --suponiendo que $p/q$ estaba ya reducida.)

Comments

Claro que si $p/q=p_1/q_1$, entonces $\mathbb{Z}[p/q]=\mathbb{Z}[p_1/q_1]$, lo que sí, en $\mathbb{Z}[p/q]$ no todos los primos que dividen a $q$ tienen inversos, solo los que sobreviven al simplificar $p/q$, es decir, los que dividen a $q_1$. Por ejemplo en $\mathbb{Z}=\mathbb{Z}[2/2]$, $2$ no es invertible.

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Ya lo entendí gracias.

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Disculpa Omar, si vez este comentario si tendríamos que $\mathbb{Z}[1/q]=\mathbb{Z}_{(1/q)}$, en el comentario numero 4.

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La notación $\mathbb{Z}_{(1/q)}$ no tiene mucho sentido porque $(1/p)$ no es un ideal de $\mathbb{Z}$.

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Si es cierto, no se que cosa puse.