Estructura de campo en R^n

Question

¿Se puede dar estructura de campo a  $\mathbb{R}^n$  con $n\geq{3}$, y para algún campo arbitrario $k$ ?

Answer 1

Bueno, depende de que tanta estructura de $\mathbb{R}^n$ quieres llevarte. Por ejemplo si solo quieres la suma, se puede ver usando una base de $\mathbb{R}$ como espacio vectorial sobre los racionales $\mathbb{Q}$ que todos los $(\mathbb{R}^n,+)$ son isomorfos como grupos abelianos. Usando estos isomorfismos puedes empujar la multiplicacion a todos los $\mathbb{R}^n$ para darles estrucutra de campos. Esto en realidad no es tan interesante pues al final solo tienes al campo $\mathbb{R}$.

Mas interesante es cuando quieres recordar tambien la estructura de espacio vectorial sobre los reales, entonces lo que buscas es una algebra sobre $\mathbb{R}$ y si quieres dividir como lo harias en un campo, entonces tienes una algebra con division (http://en.wikipedia.org/wiki/Division_algebra). Milnor y Kervaire probaron que las unicas algebras con division sobre los reales de dimension finita ocurren en dimension $1,2,4,8$ (Esto tiene que ver con el hecho de que las unicas esferas con haz tangente trivial son las de dimension $1,3,7$). Si ademas le pones una norma a tu espacio vectorial, entonces estos son precisamente los reales, los complejos, los cuaterniones y los octoniones.

Asi vemos tambien que cada vez que pasamos a mayores dimensiones perdemos algo. De estos los reales es el unico campo ordenado. Los complejos siguen siendo campo pero ya no tienen un orden. Los cuaterniones pierden la conmutatividad y los octoniones pierden la asociatividad.

Si no quieres la propiedad de algebra con division, tambien puedes encontrar algebras en dimension 16 como los sedeniones, pero eso ya se empieza a poner muy extraño para mis gustos.