Problemas de Anillos y Campos

Question

Buenas tardes, tengo varios problemas que no he podido hacer del Fraleigh.

1. Dése un ejemplo de un anillo unitario $1$ que tenga un subanillo unitario $1 \neq 1'$.

Lo único que pienso es que {0} es subanillo de cualquier anillo. De hecho el {0} es el único anillo donde el unitario es el elemento 0. Entonces sólo debería decir que {0} es un ejemplo para el problema ¿no? donde $0 \neq 1$.

2. Muésetrese que el elemento unitario en un subcmapo de un campo debe ser el unitario de todo el campo,

3. Muéstrese que el inverso multiplicativo de una unidad en un anillo con unitario es única.

Espero su gran ayuda. Gracias.

Answer 1

1. Estás correcto.

2. Sea $F$ un campo, donde $1$ es el elemento unitario y sea $S$ un subcampo de $F$ con elemento unitario $e.$ Como $e\neq0,$ entonces
$$
\begin{aligned}
e&=e\cdot1\\&=e\cdot(e\cdot e^{-1})\\&=(e\cdot e)\cdot e^{-1}\\&=e\cdot e^{-1}\\&=1.
\end{aligned}
$$

3. Sea $u$ una unidad del anillo unitario $R$ y sean $v,w\in R$ tales que $u\cdot w=w\cdot u=u\cdot v=v\cdot u=1,$ donde $1$ es una identidad multiplicativa de $R.$ Luego 
$$
\begin{aligned}
w&=w\cdot 1\\&=w\cdot(u\cdot v)\\&=(w\cdot u)\cdot v\\&=1\cdot v\\&=v.
\end{aligned}
$$