Módulo cociente

Question

Si $R$ es un anillo conmutativo y $\mathfrak{a}$ un ideal, $M$ un $R$-módulo considero el módulo cociente

$M/ \mathfrak{a}M$ y supongamos que $\displaystyle\sum_{finita}{\bar{a_i} \bar{m_i}}=\bar{0}$ es decir que

$\displaystyle \sum_{finita}{a_im_i} \in{\mathfrak{a}M} $ pero ¿necesariamente tenemos que (*) $a_i\in{\mathfrak{a}}$?.

En principio sabemos que los elementos de $\mathfrak{a}M$ son sumas $\displaystyle\sum_{finita}{a_im_i}$ con $a_i \in{\mathcal{a}}, \ m_i \in{M}$, pero no si si concluir que (*) es cierto.

Comments

Cada vez que dijiste $\mathfrak{a}R$ querías decir $\mathfrak{a}M$, ¿no?

---

Si, es que el cuadro en el que se escribe esta muy chico, y luego no se puedo uno mover con un poco de libertad.

---

Te entiendo, yo por eso muchas veces escribo en mi editor de texto favorito y cuando término copio el texto de ahí y lo pego en la cajita que te dan acá.

Answer 1

No estoy seguro de entender tu pregunta. ¿Estás preguntando si puede pasar que $\sum a_i m_i \in \mathfrak{a} M$ a pesar que los $a_i$ no estén en $\mathfrak{a}$? Si esa es tu pregunta, la respuesta es que sí, por ejemplo, $1$ y $3$ son impares, pero su suma es par. (Eso es un ejemplo con $R = M = \mathbb{Z}$, $\mathfrak{a} = 2 \mathbb{Z}$, $a_1 = 1$, $a_2 = 3$, $m_1 = m_2 = 1$.)

Comments

Lo que queria ver , es que si $\displaystyle \sum_{finita}{a_im_i} \in{\mathfrak{a}R}$ entonces $a_i\in{\mathfrak{a}}$

En realidad trataba de demostrar que $\mathfrak{a_1}\mathfrak{a_2}M=\mathfrak{a_1}M \cap \mathfrak{a_2}M$
para ideales comaximales (o primos relativos), y entre las cuentas salio eso que pregunto.

---

Te dí un ejemplo en el que eso no pasa. La suma de dos números impares es par. Si sabes que $1 \cdot 1 + 1 \cdot 3 \in 2\mathbb{Z}$, no puedes concluir que $1$ y $3$ están en $2 \mathbb{Z}$.

---

Ah, eso que querías probar sí es cierto. Siempre $\mathfrak{a}_1 \mathfrak{a}_2 \subseteq \mathfrak{a}_i$, así que $\mathfrak{a}_1 \mathfrak{a}_2 M \subseteq \mathfrak{a}_1 M \cap \mathfrak{a}_2 M$. La inclusión contraria usa que los ideales con comaximales y que por lo tanto existen $a_i \in \mathfrak{a}_i$ tales que $a_1 + a_2 = 1$. Dado $x \in \mathfrak{a}_1 M \cap \mathfrak{a}_2 M$, tenemos que $x = a_1 x + a_2 x$ y aquí, $x\in \mathfrak{a}_1 M$ implica que $a_2 x \in \mathfrak{a}_1 \mathfrak{a}_2 M$, y análogamente, $x \in \mathfrak{a}_2 M$ implica que $a_1 x \in \mathfrak{a}_1 \mathfrak{a}_2 M$, de modo que $x = a_1 x + a_2 x \in \mathfrak{a}_1 \mathfrak{a}_2 M$.

---

La parte que confundi es que el  $x$ que tu propones yo lo escribi así: $x=\displaystyle \sum_{finita}{a_im_i}$ y luego multiplique como lo haces $x = a_1 x + a_2 x$, pero esto se hizo un chilaque.

Mil gracias.