Producto tensorial

Question

Si tengo M,N son A-módulos (A anillo conmutativo con uno) y considero $M\otimes_{A} N\ , ¿Si  \bar{a} \otimes \bar{b} \neq{0}  \ entonces    \bar{a} \neq{0} \,  \bar{b} \neq{0} ?$

 

 

 

Comments

Dejo como nota un ejemplo de que puedes tener dos elementos distintos de cero en cada módulo cuyo tensor sí sea cero:

Considera los $\mathbb{Z}$- módulos $\mathbb{Q}$ y $\mathbb{Z}/ k \mathbb{Z}$ y un elemento  $\frac{m}{n}$ distinto de cero en $\mathbb{Q}$ .  Sin embargo $ \frac{m}{n} \oplus \bar{1} = \frac{km}{kn} \oplus \bar{1}  =  \frac{m}{kn} \oplus k \bar{1} = \frac{m}{kn} \oplus \bar{0} =0 $.

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Iziro, puedes escribir en LaTeX.

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ok, asi lo hare lo "desconocia".

Answer 1

Se me ocurre en principio que tanto $M_A$ como $_A N$ deben ser $A$-módulos planos (módulos cuyo funtor tensor asociado preserva monomorfismos), pero como la condición está sobre $A$, debemos preguntarnos cuándo un anillo conmutativo con uno es absolutamente plano (es decir que todo $A$-módulo sea plano). Esto es  (según un ejercicio de M. Atiyah del Introduction to Commutative Algebra), cuando todo ideal principal del anillo es idempotente.

 

Seguramente hay una respuesta más sencilla pues esta condición parece demasiado fuerte. 

Comments

Definitivamente parece algo muy fuerte ir hasta módulos planos, bueno porque para espacios vectoriales es algo trivial, a propósito que no el "producto tensorial" que propones como ejemplo es en realidad (0), por eso de que el tensor de dos elementos distintos de cero sea cero, gracias.

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Iziro, tu observación es correcta.

Answer 2

Supongamos que $M\otimes_AN\not=0$. Es claro que si $a\in M$ y $b\in N$ con $a=0$ o bien $b=0$, entonces $a\otimes b=0$. De esto se sigue que si $a\otimes b\not=0$ entonces ni $a$ ni $b$ pueden ser nulos. ¿Qué no?

Comments

Pues claro que si, aunque yo no suponía $M\otimes_AN\not=0$

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y cómo aseguras que $a\otimes b\not=0$?