Isomorfismo del producto tensorial

Question

Si A anillo conmutativo con 1, y $E_1, \ ...\ ,E_n \ ,P$ son A-módulos, ¿entonces se dan los siguientes "isomorfismos" de A-módulos?,

i)$Mult(E_1 \times \ ... \times \ E_n \ ,P) \approx \ Hom(E_1 \otimes_A \ ... \otimes_A \ E_n \ ,P)$

ii)$E_1\otimes_A\ ... \otimes_A\ E_n\approx \ Mult(E_1 \times \ ... \times \ E_n \ ,A) \approx \ Hom(E_1 \otimes_A \ ... \otimes_A \ E_n\ ,A)$

 

Solo no se si sea cierto el segundo.

Comments

El primer modulo de  (ii) no depende de $P$?

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Lo siento, lo corregí era A en lugar de P en el segundo y tercer isomorfismo.
Son funciones multilineales del producto de los $E_i$ en A, no de los $E_i$ en P.

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El primer isomorfismo de (ii) no puede ser correcto, pues implicaria que un espacio vectorial es isomorfo a su dual (esto no es cierto en dimension infinita)

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Ni para el caso de que A no sea necesariamente un campo, y que los $E_i$ sean libres

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Esto es afirmación o pregunta? porque si es afirmación entonces es incorrecta.

Answer 1

Toma $A=\mathbb{Z}$, $E_1=\mathbb{Q}$ y $E_2=\mathbb{Z}$, entonces $E_1\otimes_{A}E_2\cong E_1$ y por otro lado $\hom_A(E_1\otimes_AE_2,A)=0$.

Comments

Entonces los unicos isomorfismos que se dan es el primero y el caso particular cuando $P=A$ verdad, o falta alguna hipótesis  mas para que se cumplan.

Tambien el último se daría cuando $A$ es un campo y los $E_i$ son de dimensión finita.

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Iziro, la importancia de (la mayoría de) los isomorfismos en álgebra es la naturalidad de los mismos. El primer isomorfismo es una reparafraseada de la Propiedad Universal que caracteriza al producto tensorial. El segundo inciso no tengo ni idea de cómo dar una aplicación natural de uno en el otro... mi corazón me dice que no ayudaría mucho en caso de ser cierto (por la falta de naturalidad). Saludos

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Bueno en realidad esta pregunta la hice a razón de que he oido que algunos geómetras diferenciales siempre dicen (o a veces dicen), un tensor es una función multilineal, y por eso lo de el segundo inciso.

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Los tensores de los que hablan los geómetras son otras cosas. Un tensor $k$-covariante y $n$-contravariante en un $\mathbb{F}$-espacio vectorial $V$ es una función multilineal $f:V^k\times (V^{\ast})^n\to \mathbb{F}$. Esto es para estudiar las formas diferenciales y esas cosas... checa el libro de Spivak de Cálculo en Variedades

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Al menos de lo que he visto y he escuchado definen a $\mathcal{J}^k(V)$ como al espacio de funciones multilineales y "agarran"  $S \in \mathcal{J}^k(V),\ T \in \mathcal{J}^l(V)$ y definen su producto tensor como $S\otimes{T} \in\mathcal{J}^{k+l}(V)$ y "actúa" así:
$S\otimes{T}(v_1,...,v_k,v_{k+1},...,v{k+l})=S(v_1,...,v_k)*T(v_{k+1},...,v_{k+l})$,
por eso me da la impresión de que un tensor lo identifican con una función mutilineal

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así definen el producto tensorial de tensores y ese lo usan para definir un producto $\wedge$ que es el producto de formas diferenciales