Una pregunta de topología.

Question

Esta es una pregunta que me hizo Fico Gonzalez Acuña.  

Por definición, un espacio $W$ es acíclico si la homología reducida $\tilde{H}_0(W)=\mathbb{Z}$ y todos los grupos superiores de homología se anulan, esto es $H_j(W)=0$ para toda $j>0$. 

Sean $X$ y $Y$ dos espacios acíclicos tal que $X\cap Y$ también es acíclico. ¿Será cierto que $X\cup Y$ es acíclico?

Comments

Esta es una definicion poco comun de aciclico. Segun yo lo normal es decir que $W$ es aciclico si todos los grupos de homologia reducida se anulan. Es decir, $W$ tiene la homologia de un punto. En este caso es claro que $X\cup Y$ es aciclico usando Mayer-Vietoris.

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Sí, usualmente es como dices. Considera el siguiente ejemplo,  $X$ y $Y$ son dos copias del cono  cerrado sobre el solenoide diádico, como son contractibles son acíclicos. Todas las componentes por trayectorias del solenoide diadico son líneas por lo tanto el solenoide diádico también es acíclico. Sin embargo, la suspensión sobre el diádico (Doble cono) no es acíclica.  Por este ejemplo fue que Fico pidió que además $X$, $Y$ y $X\cap Y$ fueran conexos por trayectorias.  Me parece que para usar Mayer-Vietoris hay que poner condiciones sobre la unión de los espacios y los espacios. (Por ejemplo que $X$ y $Y$ sean abiertos).

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Cierto, siempre olvido esto sobre Mayer-Vietoris porque en las aplicaciones uno normalmente puede tomar una vecindad abierta de los subconjuntos.
Pero no entiendo bien tu ejemplo (no estoy muy acostumbrado a trabajar con espacios patologicos :)) $X$ y $Y$ son contractibles, asi que son aciclicos en el sentido que yo decia. Pero el solenoide diadico tiene infinitas componente conexas por trayectorias (cierto? no conozco muy bien este espacio), entonces no puede ser aciclico ni en mi definicion ni en la tuya. (supongo que estamos hablando de homologia singular?)

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Tienes razón. Mi argumento solo sirve para probar que todos los grupos de homotopía del solenoide son 0. En todo caso, la pregunta es sobre existencia de alguna unión patológica que dé el contraejemplo.

Answer 1

Sea

$X=\{e^{2\pi i t}\;|\; t\in [0,1/2)\}\subset S^1\subset\mathbb{C}$ y

$Y=\{e^{2\pi i t}\;|\; t\in [1/2,1]\} \subset S^1\subset\mathbb{C}$.

Entonces $X\cap Y$ es un punto y $X,Y,X\cap Y$ son todos contractibles y por lo tanto aciclicos en la definicion usual. $X\cup Y =S^1$ es obviamente no aciclico (en ninguna de las definiciones).

Si quieres que $\tilde H_0(X)=\tilde H_0(Y)=\tilde H_0(X\cap Y)=\mathbb{Z}$. Entonces solo toma dos copias del ejemplo anterior y toma la union disjunta.

Answer 2

Edit: Supongamos que $X,Y$ son abiertos (siguiendo el comentario de Carlos Cabrera)

Bajo la definicion que pones de aciclico y usando  Mayer-Vietoris obtenemos que $H_i(X\cup Y)=0$ para $i\geq 2$. Ademas tenemos la secuencia exacta:

$$ 0\rightarrow H_1(X\cup Y)\rightarrow \mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}\rightarrow \tilde H_0(X\cup Y)\rightarrow 0$$

Ahora solo falta convencerse que si $X$, $Y$, $X\cap Y$ tienen dos componentes convexas por caminos entonces lo mismo es cierto para $X\cup Y$. Esto implica que $\tilde H_0(X\cup Y)\cong\mathbb{Z}$ y el mapa $\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}\rightarrow \tilde H_0(X\cup Y)$ debe tener kernel. Por lo tanto el mapa $\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}$ no es cero y en particular tiene que ser inyectivo. Esto a su vez nos dice que el mapa sobreyectivo $H_1(X\cup Y)\rightarrow \mathbb{Z}$ es cero. Por lo tanto $H_1(X\cup Y)=0$ y concluimos que $X\cup Y$ es aciclico bajo tu definicion.