Límite en Varias Variables

Question

Hola, tengo este problema de Cálculo.

Calcule $\displaystyle\lim_{t\to 0}\dfrac{\cos(\theta)\sin(\theta)}{t}.$

 
Lo que me complica es el término $\cos(\theta)\sin(\theta)$ que está con el ángulo $\theta$. En un principio, lo que yo había hecho es esto:

$\displaystyle \lim_{t\to 0}\dfrac{\cos(\theta)\sin(\theta)}{t}=\cos(\theta)\sin(\theta)\displaystyle\lim_{t\to 0}\dfrac{1}{t}.$

Es decir, el límite no existe. Sin embargo, la pauta dice que el límite vale $0$ para $\theta=\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2},0,\pi,$ ¿cómo es esto posible?, agradecería una explicación de esto. :)

Answer 1

$\cos \theta \sin \theta = \frac{1}{2} \sin 2\theta$.

Luego, si $\theta \in \mathbb{R}$ es tal que $\sin (2\theta) =0$ entonces la función a la cual estás calculando el límite es básicamente la función constante $0$  y por lo tanto el límite buscado es $0$ en este caso.

Si $\sin (2\theta) \neq 0,$ entonces tu conclusión de que $\lim_{t \to 0} \frac{\cos \theta \sin \theta}{t}$ no existe es correcta.

Finalmente, como $\sin(2\theta) = 0$ si y sólo si $\theta = \frac{n\pi}{2}$ para algún $n \in \mathbb{Z}$ entonces puedes decir que el límite en cuestión existe y es igual a $0$ si y sólo si $\theta \in \left\{\frac{n\pi}{2}: n\in \mathbb{Z}\right\}.$

Comments

Muchas gracias José Hdz, me ha quedado claro.

Sí, creo que la forma vistosa de ver el ejercicio era notar que $\cos(\theta)\sin(\theta)=\dfrac{1}{2}\sin(2\theta),$ y luego separar en casos.

Saludos, problema resuelto. :)