funciones continuas

Question

Sea $(X,T)$ un espacio topologico y sea $U\subseteq{X}$ un abierto.Consideramos el siguiente conjunto:

$C^0(U)=\left\{{f:U\longrightarrow{R}:f  es  continua}\right\}$

Se me pide probar que $C^0(U)$ es subanillo de $(Ap(X,R),+,\cdot{})$ y, por tanto, un anillo con las operaciones habituales de suma y producto de funciones

Answer 1

Realmente, sólo tienes que probar que si tienes $f,g$ continuas, también son continuas $f+g$ y $fg$.

Para probar la primera, dado $\epsilon$ y $x\in X$, existen $N_f$ y $N_g$ vecindades de $x$ tales que si $y\in N_f$ y $z\in N_g$, entonces $|f(x)-f(y)|<\frac{\epsilon}{2}$ y $|f(x)-f(z)|<\frac{\epsilon}{2}$. Tomando $N=N_f\cap N_g$ ($N$ es no vacía porque al menos contiene a $x$), obtenemos entonces una vecindad de $x$ tal que $|(f+g)(x)-(f+g)(y)|<\epsilon$ siempre que $y\in N$.

Para probar el producto, puedes hacer una construcción similar a la que se ve en los libros de análisis, pero recordando que $X$ es topológico y no métrico necesariamente, de tal manera que no encuentras los deltas, sino vecindades.