Aplicar la regla de L'Hôpital en el cálculo de límites de sucesiones

Question

Si f(x) cumple las condiciones para aplicar la regla de L'Hôpital y tras aplicarla obtenemos que converge a "L", parece lógico que la sucesión numérica f(n) también converja a "L".

¿Hay alguna demostración de lo que comento?

Gracias.

Comments

Mmmhhh... Creo que te falta especificar algunas cosas... ¿a qué te refieres por $f(n)$? ¿$L$ es el límite de $f(x)$ cuando $x$ tiende a qué? Como lo veo yo, hay dos posibilidades: una, que estés pensando que $L=\lim_{x\to\infty}f(x)$, y que le llames $f(n)$ a la sucesión de las evaluaciones de $f$ sobre los naturales; la otra, que $L=\lim_{x\to x_0}$, y que tengas una sucesión $\{x_n\}$ que tiende a $x_0$ y que quieras probar que $L=\lim_{n\to\infty}f(x_n)$. ¿En qué estás pensando exactamente?

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Disculpe por la poca precisión en la pregunta. Me refería a la primera posibilidad de su comentario. La duda viene al leer el artículo http://www.hezkuntza.ejgv.euskadi.net/r43-573/es/contenidos/informacion/dia6_sigma/es_sigma/adjuntos/sigma_33/12_lhopital_33.pdf y tener que demostrar el límite cuando n tiende a +inf de https://drive.google.com/file/d/0B02gViDiv5L5eGxudXVFMWx4Z1k/edit?usp=sharing
Gracias por su tiempo.

Answer 1

No tiene nada que ver con L'Hôpital, esa parte es superflua. Lo que usted necesita saber es, simplemente: Si $f$ es una función y $\lim_{x\to\infty}f(x)=L$, entonces considerando la sucesión $\langle f(n)\big|n\in\mathbb N\rangle$, se tiene que $\lim_{n\to\infty}f(n)=L$. Y es muy sencillo ver por qué se da esto, pues dado $\varepsilon>0$, nuestra hipótesis nos permite hallar un número real $M$ tal que para todo real $x>M$, se cumple que $|f(x)-L|<\varepsilon$. Pero entonces, agarrando cualquier número natural $N>M$, se tiene que, para todo número natural $n>N$, debe de cumplirse que $|f(n)-L|<\varepsilon$ (pues $n$ es, en particular, un número real, con $n>N>M$). Cuadrito.