Metodo numerico de newton para la aproximacion de raices de funciones.

Question

Buenas Noches.Otra cuestión de Resolución numérica de ecuaciones: Es sabido que el método numérico de newton es muy eficaz en cuanto a rapidez para la aproximación de una raíz c de una función f(x) pero cuando f(x) cuenta, por ejemplo, con una raíz positiva c de multiplicidad mayor que 1 el método de punto fijo asociado a g(x) , siendo supuestamente g(x) una función contractiva construida a partir de f(x), se encuentra con una dificultad que impide notablemente la continuidad en las interacciones del propio método. La cuestión es que el método de newton trabaja con derivadas y precisamente en el transcurso de las interacciones, encaminadas en hallar el punto fijo de g , que es a su vez una raíz de f, el método tropieza conforme se va a cercando al punto fijo c ya que este interrogado en f '(x) es igual a cero. En conclusión las rectas tangentes correspondientes a puntos muy cercanos al punto fijo c se van haciendo paralelas al eje x. La pregunta es las siguiente ¨: ¿ Que retoque hay que hacer en la función g(x) para que este termine por converger al punto fijo c? o ¿ es mejor buscar otra función contractiva que nos asegure la convergencia al punto fijo .Espero haberme expresado bien .Saludos

 

Answer 1

Como no das más datos sobre $f$, te diré lo que se me ocurre, en general. Si tienes explícitamente a $f$, entonces hay dos posibilidades: Que tengas idea o no sobre la multiplicidad $m$ de la raíz que estás buscando. En el primer caso, lo que debes hacer es no aplicar el método de Newton directamente a $f$, sino a su $m-1$ derivada. Para la función que te queda, la raíz que estás buscando sólo tiene multiplicidad 1, y desaparece el problema que mencionas. Ahora, si no tienes idea sobre el valor de $m$, lo que te recomendaría es que vayas corriendo el método de Newton primero para $f$, luego para $f'$, $f''$, etc., hasta que desaparezcan tus problemas de convergencia, osea, cuando la multiplicidad de la raíz ya no sea mayor que uno.

Por otro lado, si no tienes explícitamente a $f$, la recomendación sería básicamente la misma, sólo que tendrías que aproximar la derivada usando diferencias finitas.

Comments

Muchisimas gracias por su respuesta me ha sido de gran ayuda.Saludos