La estrategia del memorama (aka Memoria).

Question

El Memorama o Memoria es un juego bien conocido en el que se tienen $2N$ cartas con $N$ imágenes distintas. Cada imagen aparece dos veces. Las cartas se colocan boca abajo y cada turno, un jugador elige voltear dos cartas (una y luego otra). Si las cartas son pareja (es decir, tienen la misma imagen) el jugador gana un punto y tiene un nuevo turno. Si no son pareja, se pasa al turno del siguiente jugador.

Consideremos un juego de memorama con dos jugadores (se puede generalizar a más, pero pensemos en dos por ahora). Consideremos que los jugadores tienen Memoria perfecta y son racionales (es decir, son inteligentes y además sólo les interesa ganar). Nombremos al primer jugador $A$  y al segundo $B$.

Como $A$ y $B$ son racionales tienen sólo las siguientes posibles jugadas:

1. Voltear dos cartas conocidas que se sabe que son pareja.
2. Voltear una carta desconocida. Si la imagen ha salido antes elegir la pareja, de otro modo voltear otra carta desconocida al azar.
3. Voltear una carta desconocida. Si la imagen ha salido antes elegir la pareja, de otro modo voltear una carta conocida para no revelar más información al rival.
4. Voltear dos cartas conocidas que no son pareja para no revelar información al rival. Esto es equivalente a pasar y se haría en caso de "zugzwang".

¿Quién ganará con mayor probabilidad (como función del número de parejas $N$?. O si se puede ¿Qué probabilidad tiene cada jugador de ganar? Y si de plano eso está muy fácil ¿Con qué marcadores?

¿Puede ocurrir una situación en la que a cada jugador le convenga elegir siempre dos cartas conocidas que no son pareja? Esto haría que el juego se hiciera infinito y nunca acabara.

Ejemplos:
Si $N=1$ gana $A$ por marcador 1-0 con probabilidad 1.
Si $N=2$ gana $B$ por marcador 2-0 con probablidad $2/3$. $A$ gana 2-0 con probabilidad $1/3$ (no hay empates).
Si $N=3$, la cosa se complica, pero todavía se pueden hacer las cuentas con un papel y un lápiz. (quizás con material didáctico, i.e. un Memorama).

Comments

Faltó aclarar (aunque supongo que ya todo mundo lo sabe) que cuando se hace un punto con una pareja, esa pareja se retira del juego. También faltó aclarar que el juego termina cuando todas las parejas han sido retiradas, es decir cuando los puntos de $A$ más los de $B$ suman $N$. Gana quien tenga más puntos.

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Recién me di cuenta de esto. Es una trivialidad, pero el hecho es que con 2 o más parejas $A$ lleva las de perder o en el mejor de los casos empatar. Mientras más parejas haya menor es la probabilidad de que $A$ obtenga una pareja en su primer movimiento, así que lo más probable será siempre que $A$ destape dos cartas distintas. Entonces, en su turno $B$ destapará cartas nuevas sólo si ve que las probabilidades le favorecen, en otro caso destapará las mismas dos que $A$ dejando a $A$ en su misma situación y el juego nunca terminará.