Fractales y envolventes convexas

Question

Para cada conjunto  $A\subset\mathbb{R}^n$ definamos $F(A)=Conv(A)\setminus A$, donde $Conv(A)$ es la envolvente convexa ("convex hull") de $A$ (el conjunto de los puntos de la forma $tx+(1-t)y$ con $t\in[0,1]$ y $x,y\in A$). Sea $S_0\subset\mathbb{R}^n$. Deifinimos inductivamente $S_{i+1}=\bigcup F(C)$ donde $C$ corre en las componentes conexas de $S_i$. ¿Es verdad que si $S_i\neq\emptyset$ para toda $i\in\mathbb{N}$ entonces $S_0$ es fractal?

EDIT: ya vi que no(una espiral es contraejemplo). La nueva pregunta es: Si el número de componentes conexas tiende a infinito ¿se tiene qu $S_0$ es fractal?

NOTA: No sé prácticamente nada formal sobre fractales, pero es para que los que sí saben algo lo piensen.

Comments

Fíjate en tu problema, usas componentes convexas en una parte, y componentes conexas en otra.

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Así es. Por ejemplo, si empiezo con el copo de nieve (a.k.a. curva de Koch), empiezo con una componente conexa, pero en el segundo paso tendré 6 componentes conexas, en el siguiente más y más. Uso envolventes convexas en cada componente conexa. Si usara componentes convexas llegaría siempre al vacío en el primer paso.

La verdad antes de leer tu comentario no tenía idea de que existiera tal cosa como "componentes convexas" ¿es verdad que todo conjunto en $\mathbb{R}^n$ se puede escribir de única manera como unión de convexos con ciertas restricciones? ¿qué restricciones son?

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Ya encontré un artículo sobre componentes convexas, pero aún no lo leo.
http://www.ciencias.org.ar/user/files/TORANZOS97.pdf

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Pero no veo claro cómo construyes lo que dices (si lo dibujo sí) pero no a partir de tu definición. Tampoco entiendo la relación de la primera frase con el resto de lo que dices, ahí dices envolvente convexa (disculpa, no era componente) ¿a qué te refieres con ellas?

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Lo que veo es que si comienzas con por ejemplo $S=\{x\}$ un solo elemento, entones $S_n=S_0$ para todo $n\in \mathbb{N}$. ¿Dónde viste lo que viste?

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Tenía un error que ya corregí (no era la unión de las componentes conexas, sino de las "concavidades" de las partes conexas). La envolvente convexa de un conjunto es la unión de todos los segmentos de recta con extremos en el conjunto. Lo que hago es en cada componente conexa, tomo la envolvente convexa y luego quito el conjunto original, quedándome sólo con lo que le faltaba a la componente para ser covexa (es decir, me quedo con las"concavidades"). Si el conunto en algún paso tiene puras componentes conexas que sean convexas, en el siguiente paso será vacío (pues no hay concavidades).