Sean $A$ y $B$ dos figuras convexas tal que $A$ contiene a $B$, demostrar que el perimetro de $B$ es menor al de $A$.

Question

Quisiera una demostración (soy flexible en términos de rigor) de que si tenemos dos figuras convexas $A$ y $B$ en el plano tal que $B$ está contenido en $A$ entonces el perimetro de $B$ es menor que el de $A$. Es claro que no es cierto para figuras en general, pero no me queda claro por que es cierto para conexas. Un compañero me comentó esto y me parece muy interesante.

Answer 1

Es una consecuencia directa del bello teorema de Cauchy que dice que el perímetro de una convexo en el plano es la integral del ancho (el ancho es función de la dirección en que se mida, y la integral es con respecto al ángulo que indica la dirección): si $A$ está contenida en $B$​, en cualquier dirección el ancho de $A$ es menor o igual que el de $B$. Escribí una demostración del teorema de Cauchy aquí, para simplificar la exposición, solo trata el caso en que la frontera es $C^2$​, pero el teorema es válido para cualquier convexo.