Ubica el punto en el que debe amarrarse el cable al suelo.

Question

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Evidentemente, puede resolverse también con métodos no-diferenciales. ¡Bienvenido todo aporte!

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¿Y si la clasificamos también como geometría y no sólo como Cálculo? ¿Será una pista muy grande? ; )

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Es verdad, Leo. Gracias!

Answer 1

Sean $a,b$ el punto mas alto y mas bajo del poste de 4m y sean $d,c$ el punto mas alto y mas bajo del poste de 8m. Reflejamos los puntos $a,d$ con respecto a la linea que pasa por $b,c$ y obtenemos asi los puntos $a',d'$. Sea $x$ el punto en el segmento $bc$ donde se amarra el cable.

Claramente $d(a,x)+d(x,d) = d(a,x)+d(x,d') \geq d(a,d')$. La ultima desigualdad es la desigualdad del triangulo. Entonces si queremos minimizar  $d(a,x)+d(x,d)$ el punto $x$ tiene que estar sobre el segmento $ad'$. Es decir, $x$ es el punto de interseccion de $ad'$ y $bc$.

De esta forma obtenemos que el triangulo $abx$ es similar al triangulo $d'cx$. Ademas como $d'c=8=2ab$, concluimos que $2bx=cx$. Solo falta recordar que $bx+xc=12$ para ver que $bx=4$ y $cx=8$.

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Muchas gracias por el desarrollo, Carlos. Todo correcto!

Answer 2

A 4 netros del poste pequeño y 8 del grande

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Gracias por participar, Martin. Compártanos, por favor, ¿cómo obtiene dicho resultado?

Answer 3

bueno la respuesta que dio Martin Jaime es correcta, y es verdad que no se necesitan metodos diferenciales para hacerla. Yo lo hice utilizando el teorema de pitagoras, así:

comienza con un cable situado a 1 metro del poste pequeño y a 11 del poste grande. Por lo tanto nos resultan dos triangulos rectangulo: uno de la catetos 4m, 1m e hipotenusa:

c²= (4m)² + (1m)²  = 17m²

c= 4.12 m 

el siguiente triangulo tiene catetos 8m y 11m e hipotenusa

d²= (8m)² + (11m)² = 185m²

d= 13.60m (coloque d a esta hipotenusa para diferenciarla de la otra)

para saber la cantidad de cable que se necesita para conectarlos, basta con sumar las dos hipotenusas, lo cual nos da 

4.12m+13.60m= 17.72m

siguiendo con un procedimiento igual, pero tomando ahora 2m del poste pequeño y 10 m del grande, 3m del poste pequeño y 9 del grande y asi sucesivamente, te podras dar cuenta que la distancia en la que se utiliza menor cable es a 4m del poste pequeño y 8m del poste grande. Aqui te dejo los valores para que verifiques:

2m del poste pequeño y 10m del poste grande: 17.27m de cable

3m del poste pequeño y 9m del poste grande: 17.04m de cable

4m del poste pequeño y 8m del poste grande: 16.96m de cable

5m del poste pequeño y 7m del poste grande: 17.03m de cable

6m del poste pequeño y 6m del poste grande: 17.21m de cable

7m del poste pequeño y 5m del poste grande: 17.49m de cable

8m del poste pequeño y 4m del poste grande: 17.88m de cable

9m del poste pequeño y 3m del poste grande: 18.38m de cable

10m del poste pequeño y 2m del poste grande: 19.07m de cable

11m del poste pequeño y 1m del poste grande: 19.70m de cable

Espero que te haya servido. Saludos

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Pero esto no es una demostracion del resultado. Que pasa en (3.5m, 8.5m)? o (3.77m, 8.23m)? etc...

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si quiere puede verificar para 3.99m, 8,01m y se puede dar cuenta que ese por decimas aun sigue siendo la respuesta correcta 4m y 8m. Con el método que explique anteriormente, se puede verificar para las parejas ordenadas según se escojan

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por supuesto que dada cualquier pareja $(x,y)$ con $x+y=12$ se puede verificar facilmente si la respuesta es mayor que para $(4,8)$. El punto es que aun si ya verifique 10 millones de parejas todavia no puedo asegurar que $(4,8)$ sea el optimo, pues hay una infinidad de posibilidades. Asi no se puede probar que $(4,8)$ sea la respuesta correcta. Es necesario otro argumento.

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pues me gustaria ver ese otro argumento, ya que considero que si se puede verificar para ese valor, se puede tomar, ademas hay que tener en cuenta que a pesar de que se a un ejercicio matematico, por la forma en que esta planteado el ejercicio, no hay que alejarse de la realidad

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A ver si planteado de esta forma queda mas claro. La pregunta se puede replantear de esta manera: Demuestra que para todo numero $x$ con $0\leq x \leq 12$ la longitud del cable que necesito si lo fijo al punto a distancia $x$ del poste pequeno es mayor o igual que cuando $x=4$.

No importa si ya vi que la afirmacion es correcta para 10 millones de valores distintos de $x$ aun no se puede decir que la afirmacion sea correcta porque esta dice que para todo $x$ (y no para 10 millones de valores distintos).

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Por cierto, el problema es mas bien un ejercicio sencillo. Lo que te esta causando dificultad es entender el concepto de demostracion.

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En ningún momento están diciendo que demuestre, solo están preguntando a que distancia se debe ubicar el cable para que se utilice la menor cantidad de este. Y si en tal caso es una demostración, seria bueno que usted la realizara para que así muchos pudiéramos entender el concepto de demostración, ya que es un ejercicio sencillo y me sorprende que no haya una respuesta suya.

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Dado tu ultimo comentario, tengo la impresion que te sientes agredido por mis comentarios. Disculpa si esta es la impresion que te deje. Mis comentarios son realmente sinceros y con la unica intencion de ayudarte. Si no he contestado el ejercicio es porque precisamente es un problema sencillo dirigido a los participantes mas jovenes. No tendria mucho sentido que yo lo respondiera. Sin embargo, te puedo dar un indicio para contestarlo sin usar calculo: sean $a,b$ los puntos mas altos de los postes pequeno y grande respectivamente. Refleja el dibujo de arriba con respecto a la linea que representa el suelo. Asi obtienes puntos $a',b'$. Ahora fijate en la linea $ab'$ (o $a'b$)

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Gracias por la participación, JHON: Es una buena forma de aproximarse, claro, la que muestra; de todos modos, faltaría una prueba más formal, que justifique una solución definitiva.

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De acuerdo con Carlos: Si bien no se pide una "demostración", pese a ser una pregunta muy básica (de interés, especialmente, para los más primerizos), merece una justificación precisa, lo cual no es nada complicado.

Es buena idea la de su último comentario, la del reflejo del dibujo..no veo nada inapropiado si publica una respuesta..se lo agradeceríamos!