Determina el área de la estrella de 5 puntas.

Question

Hola. En el siguiente problema se pide calcular el área de la estrella de 5 puntas inscrita en una circunferencia de radio 1.

Lo he intentado de varias maneras:

Tratando de hallar las áreas de las 5 porciones circulares comprendidas entre el círculo y la estrella. Pero no lo he conseguido.

Tratando de calcular los lados de la estrella, para calcular las áreas de los triángulos conociendo todos sus lados con la Fórmula de Herón. Pero no consigo calcular la longitud de los lados pequeños (las 5 puntas).

Comments

Utiliza coordenadas. Primero pon coordenadas (0,0) a la punta superior A. Luego, tomando en cuenta que el círculo tiene radio 1, el punto A pertenece al círculo y que las puntas de la estrella están uniformemente espaciadas encuentra las coordenadas de las demás puntas. Para hallar las coordenadas de los vértices del pentágono simplemente halla las intersecciones de las líneas que contienen a las puntas de la estrella. Lo demás es fácil.

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Por supuesto, la respuesta es 666.

Answer 1

Haciendo lo que tú dices tengo lo siguiente:

Pero: para encontrar las coordenadas del punto A' por ejemplo, necesito conocer una relación más aparte del hecho de que ese punto pertenece a la circunferencia, es decir, una ecuación más aparte de $x^{2}+\left(y+1\right)^{2}=1$, que es la ecuación de la circunferencia, siendo A' $=\left(x,y\right)$.

He buscado cómo obtener alguna otra expresión que me relacione las coordenadas de ese punto, pero no consigo obtenerla. Por ejemplo, si supiera cuánto mide el lado del pentágono inscrito en la circunferencia, el problema estaría resuelto, pero no se ve cómo obtener el lado del pentágono, pues se conoce únicamente su radio, no se conoce su apotema.

Entonces, ¿cómo encontrar las coordenadas del punto A', y de las demás puntas de la estrella?

Answer 2

Carlos ya lo dijo todo. Creo para encontrar el punto C, por ejemplo, sabemos que el pedazo de curva que va de A a C mide $\frac{2 \pi}{5}$. Entonces puedes encontrar un valor $c$ tal que 

$\int_{0}^{c} \sqrt{1 + (y')^2} dx = \frac{2 \pi}{5}$

de manera que el punto $C$ esta dado por $C = (c, f(c))$. No sé si se pueda llegar a algo con esa formula de longitud de curva.